Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Tres personas $A$, $B$ y $C$ juegan al siguiente juego usando tres cartas en cada una de las cuales hay escrito un entero positivo. Supongamos que estos enteros $p$, $q$ y $r$ están ordenados $p\lt q\lt r$. Las cartas se barajan y se le da una a cada persona, quien toma de un montón tantas fichas como indica el número que le ha tocado. Las cartas se vuelven a barajar y repartir más veces (al menos una vez más) y cada vez se toman del montón las fichas correspondientes. Después de la última ronda, $A$, $B$ y $C$ tienen $20$, $10$ y $9$ fichas, respectivamente. Si en la última ronda $B$ ha tomado $r$ fichas, determinar a quién le tocaron $q$ fichas en la primera ronda.

En un triángulo $ABC$, demostrar que existe un punto $D$ en el lado $AB$ tal que $CD$ es la media geométrica de $AD$ y $DB$ si y sólo si \[\mathrm{sen}\,A\,\mathrm{sen}\,B\leq\mathrm{sen}^2\tfrac{C}{2}.\]

Demostrar que el número \[\sum_{k=0}^n\binom{2n+1}{2k+1}2^{3k}\] no es divisible por $5$ para ningún entero $n\geq 0$.

Descomponemos un tablero de ajedrez $8\times 8$ en $p$ rectángulos que no se solapan y cumplen las siguientes dos condiciones:

• Cada uno de los $p$ rectángulos tiene tantas casillas blancas como negras.
• Si $a_i$ es el número de casillas blancas en el $i$-ésimo rectángulo, entonces $a_1\lt a_2\lt\ldots\lt a_p$.

Hallar el máximo valor de $p$ para el que existe dicha descomposición y determinar los posibles valores de $a_1,a_2,\ldots,a_p$ para ese valor máximo.

Determinar todos los posibles valores de \[\frac{a}{a+b+d}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{b+c+d}+\frac{d}{a+c+d},\] siendo $a,b,c,d$ números reales positivos cualesquiera.

Sea $P$ un polinomio no constante con coeficientes enteros. Definimos $n(P)$ como el número de enteros distintos $k$ tales que $P(k)^2=1$ y $\mathrm{gr}(P)$ como el grado de $P$. Demostrar que \[n(P)-\mathrm{gr}(P)\leq 2.\]