Olimpiadas de Matemáticas
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La base de datos contiene 2434 problemas y 940 soluciones.
XVII Olimpiada Matemática Internacional — 1975
Sesión 1
Problema 1744
IMO, 1975-P1
Sean $x_1,\ldots,x_n,y_1,\ldots,y_n$ números reales tales que
\[x_1\geq x_2\geq\ldots\geq x_n,\qquad y_1\geq y_2\geq\ldots\geq y_n.\]
Demostrar que si $z_1,z_2,\ldots,z_n$ es una permutación de $y_1,y_2,\ldots,y_n$, entonces
\[\sum_{i=1}^n(x_i-y_i)^2\leq\sum_{i=1}^n(x_i-z_i)^2.\]
pista
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infoPista. Usa la desigualdad de reordenación.
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Problema 1745
IMO, 1975-P2
Sea $a_1,a_2,a_3,\ldots$ una sucesión creciente e infinita de números enteros positivos. Demostrar que para todo $p\geq 1$ hay infinitos términos $a_m$ que se pueden escribir de la forma $a_m=xa_p+ya_q$ para ciertos enteros positivos $x$, $y$ y $q\gt p$.
Sin pistas
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Problema 1746
IMO, 1975-P3
Sobre los lados de un triángulo $ABC$ se construyen externamente triángulos $ABR$, $BCP$ y $CAQ$ tales que $\angle CBP=\angle CAQ=45^\circ$, $\angle BCP=\angle ACQ=30^\circ$ y $\angle ABR=\angle BAR=15^\circ$. Demostrar que $\angle QRP=90^\circ$ y $QR=RP$.
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Sesión 2
Problema 39
IMO, 1975-P4
Sean $A$ la suma de las cifras del número $N=4444^{4444}$, $B$ la suma de las cifras de $A$ y $C$ la suma de las cifras de $B$. Determinar el número $C$.
pistasolución 1info
Pista. ¿Qué ocurre con los números involucrados módulo $9$?
Solución. Vamos a hacer una acotación a lo bruto que nos va a ser de mucha utilidad: $N\lt 10000^{4444}=10^{17776}$. Esto nos dice que $N$ tiene como mucho $17776$ cifras. Como mucho son todos nueves, lo que nos lleva a que $A\leq9\cdot 17776=159984$. El número menor o igual que $159984$ cuyas cifras suman más es $99999$, de donde deducimos que $B\leq9+9+9+9+9=45$. Ahora bien, el número menor o igual que $45$ cuyas cifras suman más es $39$, de donde $C\leq 3+9=12$.
Por otro lado, tenemos que $N\equiv A\equiv B\equiv C (\mbox{mod }9)$ ya que el resto módulo 9 se conserva al sumar las cifras por lo que vamos a calcular el resto de $N$ módulo $9$. Observemos que $4444\equiv 7 (\mbox{mod } 9)$ luego $N\equiv 7^{4444} (\mbox{mod } 9)$ y también que $7^3=343\equiv 1 (\mbox{mod } 9)$ luego $N\equiv 7\cdot(7^3)^{1481}\equiv 7 (\mbox{mod } 9)$. En consecuencia, tenemos que $C\equiv 7 (\mbox{mod } 9)$ y, como $C\leq 12$, tiene que ser $C=7$.
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Problema 1747
IMO, 1975-P5
Determinar justificadamente si existen $1975$ puntos en una circunferencia de radio $1$ tales que la distancia entre cada dos de ellos es un número racional.
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Problema 1748problema obsoleto
IMO, 1975-P6
Encontrar todos los polinomios $P(x,y)$ de dos variables que cumplen simultáneamente las siguientes tres propiedades:
- Existe un entero $n\gt 0$ tal que $P(tx,ty)=t^nP(x,y)$ para todo $x,y,t\in\mathbb{R}$.
- $P(b+c,a)+P(c+a,b)+P(a+b,c)$ para todo $a,b,c\in\mathbb{R}$.
- $P(1,0)=1$.
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