Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Dado un cuadrilátero convexo plano de área $32$, la suma de las longitudes de dos lados opuestos y una diagonal es $16$. Hallar todas las posibles longitudes que puede tener la otra diagonal.

Consideremos la sucesión de polinomios definida por $P_1(x)=x^2-2$ y $P_j(x)=P_1(P_{j-1}(x))$ para todo $j\geq 2$. Demostrar que para todo entero positivo $n$, las raíces de la ecuación $P_n(x)$ son reales y distintas.

Una cierta caja rectangular puede rellenarse completamente con cubos de lado $1$, pero si la intentamos rellenar con cubos de volumen $2$ con aristas paralelas a las aristas de la caja, podemos llenar un máximo del $40\%$ del volumen total de la caja. Determinar las posibles dimensiones de la caja.

Hallar razonadamente el mayor número que es producto de enteros positivos cuya suma es $1976$.

Consideremos un sistema lineal de $p$ ecuaciones con $q=2p$ incógnitas: \[\left.\begin{array}{r} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\ldots+a_{1q}x_q=0\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\ldots+a_{2q}x_q=0\\ \vdots\quad\\ a_{p1}x_1+a_{p2}x_2+\ldots+a_{pq}x_q=0 \end{array}\right\}\] en el que todos los coeficientes $a_{ij}$ pertenecen al conjunto $\{-1,0,1\}$. Demostrar que existe una solución $(x_1,x_2,\ldots,x_q)$ cumpliendo las siguientes tres condiciones:

• $x_1,x_2,\ldots,x_q$ son números enteros,
• existe algún subíndice $j$ tal que $x_j\neq 0$,
• $|x_j|\leq q$ para todo $1\leq j\leq q$.

Definimos una sucesión $\{u_n\}$ como \[u_0=2,\quad u_1=\tfrac{5}{2},\quad u_{n+1}=u_n(u_{n-1}^2-2)-u_1\quad (n\geq 1).\] Demostrar que para todo entero positivo $n$ se cumple que \[\lfloor u_n\rfloor=2^{(2^n-(-1)^n)/3},\] donde $\lfloor x\rfloor$ denota la función parte entera.