Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

En el interior de un cuadrado $ABCD$ construimos triángulos equiláteros $ABK$, $BCL$, $CDM$ y $DAN$. Demostrar uqe los puntos medios de los cuatro segmentos $KL,LM,MN,NK$ y los puntos medios de los ocho segmentos $AK,BK,BL,CL,CM,DM,DN,AN$ son los vértices de un dodecágono regular.

En una sucesión finita de números reales, la suma de siete términos consecutivos cualesquiera es negativa y la suma de once términos consecutivos cualesquiera es positiva. Hallar el máximo número de términos que puede tener dicha sucesión.

Para cada entero $n\gt 2$, definimos $V_n$ como el conjunto de los enteros de la forma $1+kn$, siendo $k$ un entero positivo. Un elemento de $V_n$ se dice indescomponible si no se puede expresar como producto de dos elementos de $V_n$. Demostrar que existe un elemento $r$ de $V_n$ que se puede expresar como producto de elementos indescomponibles de $V_n$ de más de una forma distinta (se entiende que reordenar los factores produce la misma descomposición).

Dados cuatro números reales $a,b,A,B$, consideramos la función \[f(\theta)=1-a\cos(\theta)-b\,\mathrm{sen}(\theta)-A\cos(2\theta)-B\,\mathrm{sen}(2\theta).\] Demostrar que si $f(\theta)\geq 0$ para todo número real $\theta$, entonces $a^2+b^2\leq 2$ y $A^2+B^2\leq 1$.

Sean $a$ y $b$ dos enteros positivos. Si $q$ y $r$ son el cociente y el resto de la división de $a^2+b^2$ entre $a+b$, determinar todos los pares $(a,b)$ para los que $q^2+r=1977$.

Sea $f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ una función definida en los enteros positivos, que cumple \[f(n+1)\gt f(f(n))\quad\text{para todo }n\in\mathbb{N}.\] Demostrar que $f(n)=n$ para todo $n\in\mathbb{N}$.