Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sea $P$ un punto interior a un triángulo $ABC$ y sean $D,E,F$ los pies de las perpendiculares desde $P$ a las rectas $BC,CA,AB$, respectivamente. Encontrar todos los puntos $P$ para los que se cumple que \[\frac{BC}{PD}+\frac{CA}{PE}+\frac{AB}{PF}\] alcanza su menor valor posible.

Sean $r$ y $n$ enteros tales que $1\leq r\leq n$ y consideremos todos los subconjuntos de $r$ elementos del conjunto $\{1,2,\ldots,n\}$. Cada uno de estos subconjuntos tiene un elemento mínimo y definimos $F(n,r)$ como la media aritmética de todos estos mínimos. Demostrar que \[F(n,r)=\frac{n+1}{r+1}.\]

Determinar el mayor valor que puede tomar $m^3+n^3$, siendo $m$ y $n$ enteros entre $1$ y $1981$ tales que $(n^2-mn-m^2)^2=1$.

Tres circunferencias del mismo radio tienen un punto en común $O$ y están contenidas dentro de un triángulo. Cada una de ellas es tangente a un par de lados del triángulo. Demostrar que el punto $O$ está alineado con el incentro y el circuncentro del triángulo.

Una función de dos variables $f(x,y)$ sobre los enteros no negativos cumple que

• $f(0,y)=y+1$,
• $f(x+1,0)=f(x,1)$,
• $f(x+1,y+1)=f(x,f(x+1,y))$,

para cualesquiera enteros $x,y\geq 0$. Hallar $f(4,1981)$.