Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Una función $f(n)$ está definida en los enteros no negativos y toma valores enteros no negativos. También cumple las siguientes propiedades:

• $f(m+n)-f(m)-f(n)$ es igual a $0$ o a $1$ para cualesquiera enteros $m,n\geq 0$.
• $f(2)=0$, $f(3)\gt 0$ y $f(9999)=3333$.

Hallar $f(1982)$.

Un triángulo escaleno $A_1A_2A_3$ tiene lados $a_1,a_2,a_3$ (siendo $a_i$ el lado opuesto de $A_i$). Para cada $i\in\{1,2,3\}$, se definen $M_i$ como el punto medio de $a_i$, $T_i$ como el punto en el que la circunferencia inscrita del triángulo es tangente a $a_i$ y $S_i$ el punto simétrico de $T_i$ respecto de la bisectriz interior del ángulo $A_i$. Demostrar que las rectas $M_1S_1,M_2S_2,M_3S_3$ son concurrentes.

Consideremos las sucesiones crecientes infinitas $\{x_n\}$ de números reales positivos con $x_0=1$.

1. Demostrar que para cualquier sucesión de este tipo, existe algún $n\geq 1$ tal que \[\frac{x_0^2}{x_1}+\frac{x_1^2}{x_2}+\ldots+\frac{x_{n-1}^2}{x_n}\geq 3.999.\]
2. Encontrar una sucesión de este tipo para la que \[\frac{x_0^2}{x_1}+\frac{x_1^2}{x_2}+\ldots+\frac{x_{n-1}^2}{x_n}\lt 4\] para todo $n\geq 1$.

Demostrar que si $n$ es un entero positivo tal que la ecuación \[x^3-3xy^2+y^3=n\] tiene una solución $(x,y)$ en los enteros, entonces tiene al menos tres soluciones. Probar también que la solución no tiene soluciones en los enteros para $n=2891$.

Las diagonales $AC$ y $CE$ de un hexágono regular $ABCDEF$ quedan divididas por puntos interiores $M$ y $N$, respectivamente, de forma que \[\frac{AM}{AC}=\frac{CN}{CE}=r.\] Hallar los valores de $r$ para los que los puntos $B,M,N$ están alineados.

Sea $S$ un cuadrado con lados de longitud $100$ y sea $L$ un camino interior a $S$ que no pasa dos veces por el mismo punto y está compuesto de segmentos rectilíneos $A_0A_1,A_1A_2,\ldots,A_{n-1}A_n$ con $A_0\neq A_n$. Supongamos que para todo punto $P$ del borde de $S$ hay un punto de $L$ a distancia de $P$ no mayor que $1/2$. Demostrar que hay dos puntos $X$ e $Y$ en $L$ tales que la distancia entre $X$ e $Y$ no es mayor que $1$ y la longitud de la parte de $L$ que queda entre $X$ e $Y$ no es menor que $198$.