Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Encontrar todas las funciones $f(x)$ definidas en los reales positivos y que toman valores reales positivos que cumplen las siguientes dos condiciones:

• $f(xf(y))=yf(x)$ para todo $x,y\gt 0$,
• $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=0$.

Sea $A$ uno de los dos puntos de intersección de dos circunferencias $C_1$ y $C_2$ de distintos radios, cuyos centros denotamos por $O_1$ y $O_2$, respectivamente. Una de las tangentes comunes a los círculos toca a $C_1$ en $P_1$ y a $C_2$ en $P_2$, mientras que la otra tangente común toca a $C_1$ en $Q_1$ y a $C_2$ en $Q_2$. Sea $M_1$ el punto medio de $P_1Q_1$ y $M_2$ el punto medio de $P_2Q_2$. Demostrar que $\angle O_1AO_2=\angle M_1AM_2$.

Sean $a$, $b$ y $c$ enteros positivos tales que ninguna pareja de ellos tiene un divisor común mayor que $1$. Demostrar que $2abc-ab-bc-ca$ es el mayor entero que no se puede expresar como $xbc+yca+zab$ con $x$, $y$ y $z$ enteros no negativos.

Sea $ABC$ un triángulo equilátero y consideremos el conjunto $\mathcal{E}$ formado por todos los puntos de los lados $AB,BC,CA$ (incluyendo los vértices). Determinar razonadamente si para cualquier partición de $\mathcal{E}$ en dos subconjuntos disjuntos, al menos uno de ellos tiene los vértices de un triángulo rectángulo.

¿Es posible elegir $1983$ enteros positivos distintos, todos ellos menores o iguales que $10^5$ de forma que no haya tres de ellos en progresión aritmética?

Sean $a$, $b$ y $c$ las longitudes de los lados de un triángulo. Demostrar que \[a^2b(a-b)+b^2c(b-c)+c^2a(c-a)\geq 0\] y determinar bajo qué condiciones se tiene una igualdad.