Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas
Competiciones
| OME Local |
| OME Andaluza |
| OME Nacional |
| OIM |
| IMO |
| EGMO |
| USAMO |
| ASU |
| OMCC |
| Retos UJA |
Buscar problemas
La base de datos contiene 2434 problemas y 940 soluciones.
XXVI Olimpiada Matemática Internacional — 1985
Sesión 1 — 4 de julio de 1985
Problema 1800
IMO, 1985-P1
Una circunferencia tiene su centro en el lado $AB$ de un cuadrilátero cíclico $ABCD$. Los otros tres lados de $ABCD$ son tangentes a dicha circunferencia. Probar que $AD+BC=AB$.
Sin pistas
Sin soluciones
infoSi crees que el enunciado contiene un error o imprecisión o bien crees que la información sobre la procedencia del problema es incorrecta, puedes notificarlo usando los siguientes botones:
Informar de error en enunciado Informar de procedencia del problema
Informar de error en enunciado Informar de procedencia del problema
Problema 1801
IMO, 1985-P2
Sean $n$ y $k$ enteros positivos primos entre sí, con $k\lt n$. Cada número del conjunto $M=\{1,2,\ldots,n-1\}$ está coloreado de azul o de blanco. Además, se sabe que para todo $i\in M$:
- los números $i$ y $n-i$ tienen el mismo color,
- los números $i$ y $|i-k|$ tienen el mismo color para $i\neq k$.
Demostrar que todos los números de $M$ tienen el mismo color.
Sin pistas
Sin soluciones
infoSi crees que el enunciado contiene un error o imprecisión o bien crees que la información sobre la procedencia del problema es incorrecta, puedes notificarlo usando los siguientes botones:
Informar de error en enunciado Informar de procedencia del problema
Informar de error en enunciado Informar de procedencia del problema
Problema 1802
IMO, 1985-P4
Dado un polinomio $P(x)$ con coeficientes enteros, denotamos por $w(P)$ el número de coeficientes impares de $P$. Para cada entero $i\geq 0$, definimos $Q_i(x)=(1+x)^i$. Demostrar que, para cualesquiera enteros $0\leq i_1\lt i_2\lt\ldots\lt i_n$, se cumple que
\[w(Q_{i_1}+Q_{i_2}+\ldots+Q_{i_n})\geq w(Q_{i_1}).\]
Sin pistas
Sin soluciones
infoSi crees que el enunciado contiene un error o imprecisión o bien crees que la información sobre la procedencia del problema es incorrecta, puedes notificarlo usando los siguientes botones:
Informar de error en enunciado Informar de procedencia del problema
Informar de error en enunciado Informar de procedencia del problema
Sesión 2 — 5 de julio de 1985
Problema 403
IMO, 1985-P4
Dado un conjunto $M$ de $1985$ enteros positivos, ninguno de los cuales tiene un divisor primo mayor que $26$, demostrar que podemos encontrar cuatro elementos distintos en $M$ cuya media geométrica es un entero.
pistasolución 1info
Pista. Utiliza el principio del palomar para encontrar parejas de elementos de $M$ cuyas medias geométricas sean enteros y observa la identidad $\sqrt[4]{abcd}=\sqrt{\sqrt{ab}\sqrt{cd}}$.
Solución. Existen $9$ números primos menores o iguales que $26$ (esto son $2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$, $17$, $19$ y $23$), por lo que cada número de $M$ se expresará como $2^{e_1}3^{e_2}\cdots 19^{e_8}23^{e_9}$, siendo los exponentes $e_1,\ldots,e_9$ no negativos. Si sólo atendemos a la paridad de estos exponentes, tenemos $2^9=512$ posibilidades, luego el principio del palomar nos dice que de entre los $1985$ enteros podremos elegir dos de ellos cuyos exponentes tienen la misma paridad. De entre los $1983\gt 512$ restantes también podemos elegir dos cuyos exponentes tienen la misma paridad y repetir el proceso extrayendo parejas de números con esta propiedad mientras al menos queden $512$ elementos restantes. Como $1985=513+2\cdot 736$, podemos obtener hasta $736$ parejas. Consideremos el conjunto $N$ formado por las $736$ medias geométricas de tales parejas, que son números enteros con divisores primos menores o iguales que $26$. Ahora bien, como $736\gt 512$, podemos encontrar dos de estas medias cuyos exponentes tengan la misma paridad usando el mismo argumento del principio del palomar, luego hemos encontrado cuatro números $a,b,c,d\in M$ tales que $\sqrt{ab}$ y $\sqrt{cd}$ son enteros cuyos exponentes tienen la misma paridad, esto es, $\sqrt[4]{abcd}=\sqrt{\sqrt{ab}\sqrt{cd}}$ es un entero.
Si crees que el enunciado contiene un error o imprecisión o bien crees que la información sobre la procedencia del problema es incorrecta, puedes notificarlo usando los siguientes botones:
Informar de error en enunciado Informar de procedencia del problema
Informar de error en enunciado Informar de procedencia del problema
Problema 1803
IMO, 1985-P5
Una circunferencia con centro en un punto $O$ pasa por los vértices $A$ y $C$ de un triángulo $ABC$ y corta a los lados $AB$ y $BC$ de nuevo en puntos distintos $K$ y $N$, respectivamente. Las circunferencias circunscritas de los triángulos $ABC$ y $EBN$ se cortan en exactamente dos puntos: $B$ y otro punto $M$. Demostrar que el ángulo $\angle OMB$ es recto.
Sin pistas
Sin soluciones
infoSi crees que el enunciado contiene un error o imprecisión o bien crees que la información sobre la procedencia del problema es incorrecta, puedes notificarlo usando los siguientes botones:
Informar de error en enunciado Informar de procedencia del problema
Informar de error en enunciado Informar de procedencia del problema
Problema 1804
IMO, 1985-P6
Para cada número real $x_1$ podemos definir una sucesión infinita $\{x_n\}$ mediante
\[x_{n+1}=x_n\Bigl(x_n+\frac{1}{n}\Bigr)\qquad\text{para todo }n\geq 1.\]
Demostrar que existe una única elección posible de $x_1$ para la que se cumple que $0\lt x_n\lt x_{n+1}\lt 1$ para todo $n$.
Sin pistas
Sin soluciones
infoSi crees que el enunciado contiene un error o imprecisión o bien crees que la información sobre la procedencia del problema es incorrecta, puedes notificarlo usando los siguientes botones:
Informar de error en enunciado Informar de procedencia del problema
Informar de error en enunciado Informar de procedencia del problema
José Miguel Manzano © 2010-2025. Esta página ha sido creada mediante software libre