Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sea $d$ cualquier entero positivo distinto de $2$, $5$ o $13$. Demostrar que podemos encontrar dos elementos distintos $a$ y $b$ en el conjunto $\{2,5,13,d\}$ tales que $ab-1$ no es un cuadrado perfecto.

Se tienen un triángulo $A_1A_2A_3$ y un punto $P_0$ en el plano. Definimos $A_s=A_{s-3}$ para todo $s\geq 4$ y construimos una sucesión de puntos $\{P_1,P_2,P_3,\ldots\}$ de forma que $P_{k+1}$ es la rotación de $P_k$ con centro en $A_{k+1}$ y ángulo $120^\circ$ en el sentido de las agujas del reloj. Demostrar que si $P_{1986}=P_0$, entonces el triángulo $A_1A_2A_3$ es equilátero.

A cada uno de los vértices de un pentágono regular se le asigna un número entero de forma que la suma de los cinco números es positiva. Si a tres vértices consecutivos se les ha asignado los números $x,y,z$ y el número central $y$ es negativo, entonces se permite reemplazar estos números por $x+y,-y,z+y$, respectivamente. Esta operación se realiza repetidamente mientras queden números negativos. Determinar si este proceso debe terminar necesariamente después de un número finito de pasos.

Sean $A$ y $B$ vértices adyacentes de un polígono regular de $n\geq 5$ lados con centro en $O$. Un triángulo $XYZ$ es congruente con $OAB$ y se mueve en el plano de modo que inicialmente coincide con $OAB$ y después $Y$ y $Z$ recorren toda la frontera del polígono, quedando $X$ dentro del polígono. Encontrar el lugar geométrico de $X$.

Encontrar todas las funciones $f$ definidas en los reales no negativos y que toman valores en los reales no negativos tales que

• $f(xf(y))f(y)=f(x+y)$ para todo $x,y\geq 0$,
• $f(2)=0$,
• $f(x)\neq 0$ para $0\leq x\lt 2$.

Tenemos un conjunto finito de puntos del plano, cada uno de ellos con coordenadas enteras. Determinar si es posible colorear algunos de los puntos de rojo y el resto de blanco de forma que, para cualquier recta $L$ paralela a uno de los ejes de coordenadas, la diferencia (en valor absoluto) entre el número de puntos blancos y el número de puntos rojos por los que pasa $L$ no sea mayor que $1$.