Olimpiadas de Matemáticas
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La base de datos contiene 2434 problemas y 940 soluciones.
XXVIII Olimpiada Matemática Internacional — 1987
Sesión 1 — 10 de julio de 1987
Problema 402
IMO, 1987-P1
Sea $S$ un conjunto de $n$ elementos. Denotamos por $p_n(k)$ al número de permutaciones de los elementos de $S$ que dejan exactamente $k$ elementos fijos. Demostrar que
\[\sum_{k=0}^nkp_n(k)=n!\]
pistasolución 1info
Pista. Observa que cada elemento de $S$ queda fijo por exactamente $(n-1)!$ permutaciones. ¿Cuál es el número total de elementos fijos entre todas las permutaciones de $S$?
Solución. Escribamos $S=\{a_1,a_2,\ldots,a_n\}$ y sea $N$ es el número total de elementos que todas las $n!$ permutaciones de $S$ dejan fijos. Por un lado, está claro que $N=\sum_{k=0}^nkp_n(k)$, ya que las permutaciones que dejan fijos $k$ elementos, dejan fijos un total de $kp_n(k)$ elementos. Por otro lado, cada uno de los $n$ elementos $a_1,a_2,\ldots,a_n$ queda fijo exactamente para $(n-1)!$ permutaciones distintas, luego $N$ también es igual a $n\cdot (n-1)!=n!$ y tenemos demostrado el enunciado.
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Problema 1811
IMO, 1987-P2
En un triángulo acutángulo $ABC$ la bisectriz interior del ángulo $A$ corta al lado $BC$ en el punto $L$ y a la circunferencia circunscrita de $ABC$ en un segundo punto $N$. Desde el punto $L$ se trazan perpendiculares a $AB$ y $BC$, cuyos pies llamaremos $K$ y $M$, respectivamente. Demostrar que el cuadrilátero $AKNM$ y el triángulo $ABC$ tienen la misma área.
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Problema 1812
IMO, 1987-P3
Sean $x_1,x_2,\ldots,x_n$ números reales tales que $x_1^2+x_2^2+\ldots+x_n^2=1$. Demostrar que, para todo $k\geq 2$, existen enteros $a_1,a_2,\ldots,a_n$ no todos iguales a cero tales que $|a_i|\leq k-1$ para todo $i$ y
\[|a_1x_1+a_2x_2+\ldots+a_nx_n|\leq\frac{(k-1)\sqrt{n}}{k^n-1}\]
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Sesión 2 — 11 de julio de 1987
Problema 1813
IMO, 1987-P4
Demostrar que no hay ninguna función $f$ definida en los enteros no negativso y con valores enteros no negativos tal que $f(f(n))=n+1987$ para todo $n$.
pista
Sin soluciones
infoPista. Calcula $f(f(f(n)))$ de dos formas distintas.
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Problema 1814
IMO, 1987-P5
Sea $n\geq 3$ un entero. Demostrar que hay un conjunto de $n$ puntos del plano tal que la distancia entre dos cualesquiera de ellos es un número irracional y cada subconjunto de tres de ellos determina un triángulo no degenerado con área un número racional.
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Problema 1815
IMO, 1987-P6
Sea $n\geq 2$ un entero. Demostrar que si $k^2+k+n$ es primo para todos los enteros $k$ tales que $0\leq k\leq \sqrt{n/3}$, entonces $k^2+k+n$ es primo para todos los enteros $k$ tales que $0\leq k\leq n-2$.
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