Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Las relaciones dadas en el enunciado determinan completamente $f(n)$. Al depender formalmente el valor de $f(n)$ del resto de dividir $n$ entre $4$, esto nos pone sobre aviso de trabajar en otra base. Concretamente, trabajaremos en base $2$. En este punto del razonamiento, sería interesante hacer pruebas con números pequeños (por ejemplo, calcular desde $f(1)$ hasta $f(20)$ para tener una mínima intuición de cómo se comporta $f$ y motivar lo que sigue). Vamos a probar que $f$ toma un número en base $2$ e invierte el orden de sus cifras.

Antes de entrar en el detalle de la demostración, observemos que si $n$ se escribe como $a_k\cdots a_1a_0$ en base $2$, donde $a_0,\ldots,a_k$ son sus dígitos, entonces tenemos que \begin{eqnarray} 2n&=&a_k\cdots a_1a_00\\ 2n+1&=&a_k\cdots a_1a_01\\ 4n+1&=&a_k\cdots a_1a_001\\ 4n+3&=&a_k\cdots a_1a_011 \end{eqnarray} Visto eso, procedamos por inducción completa sobre $n$. Para $n=1,2,3,4$ el resultado se comprueba fácilmente ya que, en base 2, $f(1)=1$, $f(10)=f(1)=1$, $f(11)=11$ y $f(100)=f(10)=f(1)=1$. Supongamos entonces que $f(j)$ invierte las cifras de $j$ en base $2$ para $1\leq j\lt n$ y probémoslo para $n$, distinguiendo casos:

• Si $n$ es par, entonces $n=2j$ y $f(n)=f(2j)=f(j)$ por la propiedad del enuncidado. Por hipótesis de inducción, $f(j)$ es invertir las cifras de $j$ en base $2$, pero, como $n$ termina en $0$ en base $2$, es equivalente a invertir las cifras de $n$.
• Si $n=4j+1$, entonces $f(n)=f(4j+1)=2f(2j+1)-f(j)$. Escribamos $j=a_k\cdots a_1a_0$ en base $2$, con lo que $n=a_k\cdots a_1a_001$ y tenemos que probar que $f(n)=10a_0\cdots a_k$. La hipótesis de inducción nos dice que $f(j)=a_0\cdots a_k$ y $2f(2j+1)=1a_0\cdots a_k0$. Como las últimas cifras de $2f(2j+1)$ son $a_0\cdots a_k0=2f(j)$, es fácil darse cuenta de que $f(n)=2f(2j+1)-f(j)=10a_0\cdots a_k$ como queríamos probar.
• Si $n=4k+3$, entonces $f(n)=3f(2j+1)-2f(j)$. Si escribimos $j=a_k\cdots a_1a_0$ en base $2$, entonces se razona de forma análoga al punto anterior que $n=a_k\cdots a_1a_011$ y $3f(2j+1)-2f(j)=11a_0\cdots a_k$.

Queda por calcular el número de enteros positivos $n\leq 1988$ tales que $f(n)=n$, lo que equivale a encontrar los números $n\leq 1988$ que son capicúa en base $2$, es decir, que se escriben igual de derecha a izquierda que de izquierda a derecha. En base $2$ tenemos que $1988$ se escribe $11111000100$, que tiene $11$ cifras. Hay un solo capicúa con $1$ cifra, también hay un solo capicúa con $2$ cifras (el $11$), con $3$ cifras hay $2$ capicúas (el $101$ y el $111$) y, en general, hay $2^k$ capicúas con $2k$ cifras y $2^k$ capicúas con con $2k-1$ cifras. Por tanto, hay $1+1+2+2+4+4+8+8+16+16+32=94$ capicúas con a lo sumo $11$ cifras, pero sólo dos de ellos son mayores que $11111000100$ (el $11111011111$ y el $11111111111$), luego el número buscado es $92$.

Solución. En primer lugar, no es difícil probar que cada sumando $\frac{k}{x-k}$ es una función decreciente de $x$ que tiene una asíntota vertical en $x=k$, es negativa para $x\lt k$ y tiende a $0$ cuando $x\rightarrow+\infty$. Por lo tanto, la suma de todas ellas, $f(x)=\sum_{k=1}^{70}\frac{k}{x-k}$ es también una función decreciente, tiene asíntotas verticales en $x=k$ para cada $k\in\{1,\ldots,70\}$, es negativa para $x\lt 1$ y tiende a cero cuando $x\rightarrow +\infty$. De aquí es fácil ver que el conjunto del que habla el enunciado está dado por \[S=(1,x_1]\cup (2,x_2]\cup\ldots\cup (70,x_{70}]\] para ciertos números reales $x_1,\ldots,x_{70}$ que cumplen que $k\lt x_k\lt k+1$. La suma de las longitudes de los intervalos que forman $S$ es \[L=(x_1-1)+(x_2-1)+\ldots+(x_{70}-1)=(x_1+\ldots+x_{70})-(1+2+\ldots+70).\]

Observemos que $x_1,\ldots,x_{70}$ no son otra cosa que las soluciones de la ecuación $f(x)=\frac{5}{4}$. Multiplicando esta ecuación por $(x-1)\cdots(x-70)$ la podemos expresar como \begin{eqnarray} &&(x-2)(x-3)\cdots(x-70)+2(x-1)(x-3)\cdots(x-70)+\ldots+70(x-1)\cdots(x-69)\\ &&\quad =\frac{5}{4}(x-1)\cdots(x-70). \end{eqnarray} Necesitamos encontrar la suma de las raíces de este polinomio de grado $70$, pero esto no es más que el coeficiente de grado $69$ entre el de grado $70$. Usando esta regla y con un poco de cuidado se calcula \[x_1+\ldots+x_{70}=\frac{9}{5}(1+2+\ldots+70).\] Tenemos entonces que la longitud buscada es \[L=\frac{4}{5}(1+\ldots+70)=\frac{4\cdot 70\cdot 71}{2\cdot 5}=1988.\]