Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Demostrar que el conjunto $\{1,2,\ldots,1989\}$ se puede expresar como la unión disjunta de subconjuntos $A_1,A_2,\ldots,A_{117}$ tales que

• cada $A_i$ contiene exactamente $17$ elementos,
• la suma de los elementos de cada $A_i$ es la misma.

En un triángulo acutángulo $ABC$, la bisectriz interior del ángulo $A$ corta a la circunferencia circunscrita de nuevo en el punto $A_1$ y, de forma similar, se definen los puntos $B_1$ y $C_1$. Sea $A_0$ el punto en el que concurren la recta $AA_1$ y las bisectrices exteriores de los ángulos $B$ y $C$; los puntos $B_0$ y $C_0$ se definen de forma similar.

1. Demostrar que el área del triángulo $A_0B_0C_0$ es el doble que el área del hexágono $AC_1BA_CB_1$.
2. Demostrar que el área del triángulo $A_0B_0C_0$ es al menos $4$ veces el área del triángulo $ABC$.

Sean $n$ y $k$ enteros positivos. Consideremos un conjunto de $n$ puntos en el plano verificando las siguientes dos condiciones:

• No hay tres puntos de $S$ que estén alineados.
• Para cada punto $P$ de $S$ hay al menos $k$ puntos de $S$ que equidistan de $P$.

Demostrar que $k\lt \frac{1}{2}+\sqrt{2n}$.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo tal que $AB=AD+BC$. Supongamos que $P$ es un punto interior al cuadrilátero a distancia $h$ de $CD$ y tal que $AP=h+AD$ y $BP=h+BC$. Demostrar que \[\frac{1}{\sqrt{h}}\geq\frac{1}{\sqrt{AD}}+\frac{1}{\sqrt{BC}}.\]

Demostrar que para todo entero positivo $n$ existen $n$ enteros positivos consecutivos ninguno de los cuales es una potencia de un número primo.

Sea $n$ un entero positivo fijo. Una permutación $(x_1,x_2,\ldots,x_{2n})$ del conjunto $\{1,2,\ldots,2n\}$ se dice que tiene la propiedad P si $|x_i-x_{i+1}|=n$ para al menos un valor $1\leq i\leq 2n-1$. Probar que hay más permutaciones que tienen la propiedad P que permutaciones que no la tienen.