Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

En una circunferencia se trazan las cuerdas $AB$ y $CD$, que se cortan en un punto $E$. Sea $M$ un punto interior del segmento $EB$. La recta tangente en $E$ a la circunferencia circuscrita del triángulo $DEM$ corta a las rectas $BC$ y $AC$ en $F$ y $G$, respectivamente. Encontrar el valor de \[\frac{EG}{EF}\] en términos de $t=\frac{AM}{AB}$.

Consideremos un conjunto $E$ de $2n-1$ puntos distintos de una circunferencia, con $n\geq 3$. Supongamos que algunos de estos puntos están pintados de negro. Una tal coloración se dice buena si hay al menos un par de puntos negros tales que en el interior de uno de los arcos que determinan hay exactamente $n$ puntos de $E$. Encontrar el menor valor de $k$ para el que toda coloración de $k$ puntos de $E$ es buena.

Hallar todos los enteros $n\gt 1$ tales que \[\frac{2^n+1}{n^2}\] es entero.

Sea $\mathbb{Q}^+$ el conjunto de los números racionales positivos. Construir una función $f:\mathbb{Q}^+\to\mathbb{Q}^+$ que cumpla que \[f(xf(y))=\frac{f(x)}{y}\] para cualesquiera $x,y\in\mathbb{Q}^+$.

Dado un entero inicial $n_0\gt 1$, dos jugadores A y B eligen enteros $n_1,n_2,n_3,\ldots$ de forma alternada de acuerdo a las siguientes reglas:

• Tras conocer $n_{2k}$, el jugador A elige cualquier entero $n_{2k+1}$ tal que \[n_{2k}\leq n_{2k+1}\leq n_{2k}^2.\]
• Tras conocer $n_{2k+1}$, el jugador B elige cualquier entero $n_{2k+2}$ tal que \[\frac{n-{2k+1}}{n_{2k+2}}\] sea la potencia de un número primo.

El jugador A gana al elegir el número $1990$ y el jugador B gana al elegir el número $1$. Determinar, según el valor de $n_0$, cuál de los dos jugadores tiene una estrategia ganadora o si ninguno la tiene.

Probar que existe un polígono convexo de $1990$ lados con las siguientes dos propiedades:

• Todos sus ángulos son iguales.
• Las longitudes de los $1990$ lados son los números $1^2,2^2,\ldots,1990^2$.