Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sea $I$ el incentro de un triángulo $ABC$. Las bisectrices interiores de los ángulos $A,B,C$ cortan a los lados opuestos en $A',B',C'$, respectivamente. Demostrar que \[\frac{1}{4}\lt\frac{AI\cdot BI\cdot CI}{AA'\cdot BB'\cdot CC'}\leq \frac{8}{27}.\]

Sea $n\gt 6$ un entero y sean $a_1,a_2,\ldots,a_k$ todos los números menores que $n$ y primos relativos con $n$. Si se cumple que \[a_2-a_1=a_3-a_2=\ldots=a_k-a_{k-1}\gt 0,\] demostrar que $n$ es un número primo o bien una potencia de $2$.

Sea $S=\{1,2,3,\ldots,280\}$. Encontrar el menor entero $n$ tal que cualquier subconjunto de $S$ con exactamente $n$ elementos contiene cinco elementos que son primos relativos dos a dos.

Supongamos que $G$ es un grafo conexo con $k$ aristas. Demostrar que es posible etiquetarlas con los enteros del $1$ al $k$ de forma que, para cualquier vértice que pertenezca a dos o más aristas, el máximo común divisor de las etiquetas de sus aristas es $1$.

Sean $ABC$ un triángulo y $P$ un punto de su interior. Demostrar que al menos uno de los ángulos $\angle PAB,\angle PBC,\angle PCA$ es menor o igual que $30^\circ$.

Una sucesión infinita $\{x_0,x_1,x_2,\ldots\}$ de números reales se dice acotada si existe una constante $C$ tal que $|x_i|\leq C$ para todo $i\geq 0$. Dado un número real $a\gt 1$, construir una sucesión infinita acotada $\{x_0,x_1,x_2,\ldots\}$ tal que \[|x_i-x_j|\cdot |i-j|^a\geq 1,\] para todo par de enteros no negativos distintos $i$ y $j$.