Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Encontrar todos los enteros $a,b,c$ con $1\lt a\lt b\lt c$ tales que \[(a-1)(b-1)(c-1)\text{ es un divisor de }abc-1.\]

Encontrar todas las funciones $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ tales que \[f(x^2+f(y))=y+(f(x))^2,\] para cualesquiera $x,y\in\mathbb{R}$.

Consideremos nueve puntos en el espacio de forma que no hay cuatro de ellos coplanarios. Cada par de puntos se une por un segmento de línea recta y cada uno de esos segmentos o bien se pinta de azul o de rojo o bien se deja sin colorear. Encontrar el menor valor de $n$ tal que si se colorean exactamente $n$ segmentos necesariamente hay un triángulo cuyos lados son todos del mismo color.

En el plano tenemos una circunferencia $C$, una recta $L$ tangente a $C$ y un punto $M$ en $L$. Encontrar el lugar geométrico de los puntos $P$ con la siguiente propiedad: existen puntos $Q,R$ en $L$ tales que $M$ es el punto medio de $QR$ y $C$ es la circunferencia inscrita del triángulo $PQR$.

Sea $S$ un conjunto finito de puntos en el espacio tridimensional. Sean $S_x,S_y,S_z$ los conjuntos formados por las proyecciones ortogonales de los puntos de $S$ sobre los planos coordenados $OYZ,OZX,OYZ$, respectivamente. Demostrar que \[|S|^2\leq|S_x|\cdot|S_y|\cdot|S_z|,\] donde $|A|$ denota el número de elementos de un conjunto $A$.

Nota: La proyección ortogonal de un punto sobre un plano es el pie de la perpendicular al plano desde ese punto.

Para cada entero positivo $n$, definimos $S(n)$ como el mayor entero tal que $n^2$ se puede escribir como la suma de $k$ cuadrados perfectos no nulos para todo entero $1\leq k\leq S(n)$.

1. Demostrar que $S(n)\leq n^2-14$.
2. Encontrar un entero $n$ tal que $S(n)=n^2-14$.
3. Demostrar que hay infinitos enteros $n$ tales que $S(n)=n^2-14$.