Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sea $f(x)=x^n+5x^{n-1}+3$ para cierto entero $n\gt 1$. Demostrar que $f(x)$ no se puede expresar como el producto de dos polinomios no constantes con coeficientes enteros.

Sea $D$ un punto interior al triángulo $ABC$ tal que $\angle ADB=\angle ACB+90^\circ$ y $AC\cdot BD=AD\cdot BC$.

1. Calcular la razón $(AB\cdot CD)/(AC\cdot BD)$.
2. Probar que las tangentes en $C$ a las circunferencias circunscritas a los triángulos $ACD$ y $BCD$ son perpendiculares.

En un tablero de ajedrez infinito se juega al siguiente juego. Al principio, $n^2$ fichas se colocan en un bloque de casillas $n\times n$, habiendo una ficha en cada una de dichas casillas. Un movimiento del juego consiste en saltar en la dirección horizontal o vertical por encima de una casilla ocupada para alcanzar una casilla desocupada adyacente y la ficha por encima de la que se salta se elimina. Hallar los valores de $n$ para los que el juego puede acabar con una sola ficha en el tablero.

Dados tres puntos $P,Q,R$ en el plano, definimos $m(PQR)$ como la menor de las longitudes de las alturas del triángulo $PQR$. Si los puntos $P,Q,R$ no forman un triángulo porque están alineados, definimos $m(PQR)=0$. Demostrar que, dados cuatro puntos $A,B,C,X$ en el plano, se cumple que \[m(ABC)\leq m(ABX)+m(AXC)+m(XBC).\]

Determinar si existe alguna función $f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ tal que $f(1)=2$, $f(f(n))=f(n)+n$ y $f(n)\lt f(n+1)$ para todo $n\in\mathbb{N}$.

Hay $n\gt 1$ lámparas $L_0,L_1,\ldots,L_{n-1}$ alrededor de un círculo, cada una de las cuales puede encontrarse encendida o apagada. Inicialmente todas las lámparas están encendidas. En cada paso, podemos realizar la siguiente operación: si $L_{i-1}$ está encendida, cambiar $L_i$ de encendida a apagada o viceversa (aquí entendemos que $L_{n+k}=L_k$ para todo $k$).

1. Probar que hay un entero positivo $M(n)$ tal que después de $M(n)$ pasos consecutivos, todas las lamparas están necesariamente encendidas de nuevo.
2. Demostrar que, si $n=2^k$, entonces podemos tomar $M(n)=n^2-1$.
3. Demostrar que, si $n=2^k+1$, entonces podemos tomar $M(n)=n^2-n+1$.