Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Observemos que $A_k=\{k+1,k+2,\ldots,2k\}$ y $A_{k+1}=\{k+2,k+3,\ldots,2k,2k+1,2k+2\}$ tienen todos sus elementos en común salvo $\{k+1,2k+1,2k+2\}$. Las representaciones binarias de $2k+2$ y $k+1$ difieren en un cero, luego tienen el mismo número de unos. Por tanto, $f(k+1)=f(k)+1$ si la representación de $2k+1$ tiene tres unos (es decir, si la representación de $k$ tiene dos unos) o bien $f(k+1)=f(k)$ en caso contrario. En particular, la función $f(k)$ es creciente y, como existen infinitos valores de $k$ con dos unos en binario y $f(1)=0$, deducimos que $f(k)$ recorre todos los enteros no negativos, es decir, $f(k)=m$ tiene solución para todo $m\geq 0$.

Para que $f(k)=m$ tenga una única solución ha de cumplirse que $f(k+1)=f(k)+1$ y $f(k)=f(k-1)+1$, luego $k$ y $k-1$ han de tener exactamente dos unos en representación binaria, es decir $k-1=2^a+2^b$ para ciertos enteros $0\leq b\lt a$. El número $k=2^a+2^b+1$ también ha de tener dos unos, lo que ocurre si, y sólo si, $b=0$ y $a\geq 2$. De aquí deducimos que las soluciones al segundo apartado son los números de la forma $m=f(2^a+1)$ para cierto $a\geq 2$. Ahora bien, el conjunto $A_{2^a+1}=\{2^a+2,2^a+3,\ldots, 2^{a+1}+1\}$ contiene $\binom{a}{2}$ elementos con tres unos (ya que se corresponde con todas las posibilidades de elegir dos elementos de un conjunto de $a$ elementos, las $a$ primeras cifras del número), luego la solución son los números de la forma $m=\binom{a}{2}=\frac{a(a-1)}{2}$ para $a\geq 2$.