Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Haciendo el cambio $x=\frac{1}{a}$, $y=\frac{1}{b}$, $z=\frac{1}{c}$, podemos reescribir la desigualdad del enunciado como \[\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}\geq\frac{3}{2}.\] La desigualdad de Cauchy-Schwarz nos dice que \[((y+z)+(x+z)+(x+y))\left(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}\right)\geq (x+y+z)^2.\] De esta desigualdad y de la desigualdad entre las medias aritmética y geométrica, obtenemos que \[\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}\geq\frac{x+y+z}{2}\geq \frac{3\sqrt[3]{xyz}}{2}=\frac{3}{2}\]

Nota. La misma solución se puede seguir sin el cambio de variable, aunque con él puede que sea más sencillo encontrar la forma de aplicar la desigualdad de Cauchy-Schwarz.

Solución. Sean $M$ y $N$ puntos exteriores al hexágono tales que $ABM$ y $DEN$ sean triángulos equiláteros. Entonces, la propiedad de arco capaz nos asegura que $P$ está en la circunferencia circunscrita al triángulo $ABM$ y el teorema de Ptolomeo (aplicado al cuadrilátero $AMBP$) nos dice que $AP+PB=MP$. De la misma forma, obtenemos que $DQ+QE=NQ$ y se cumple que $AP+PB+PQ+DQ+QE=MP+PQ+QN\geq MN$ ya que $MPQN$ es una poligonal que une $M$ y $N$ y su longitud siempre es mayor que la del segmento $MN$. Ahora bien, el octógono $AMBCDNEF$ es simétrico respecto de la recta $BE$ por las condiciones del enunciado luego se tiene que $MN=CF$ y hemos terminado.