Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Nos dan un entero positivo $r$ un tablero rectangular $ABCD$ con dimensiones $Ab=20$ y $BC=12$. Este rectángulo se divide en un tablero de $20\times 12$ casillas. Se permiten moverse de una casilla a otra solo cuando la distancia entre los centros de dichas casillas sea igual a $\sqrt{r}$ y la tarea es encontrar una sucesión de movimientos que vayan desde la casilla de la esquina $A$ a la esquina de la casilla $B$.

1. Demosstrar que esta tarea no puede llevarse a cabo si $r$ es divisible entre $2$ o entre $3$.
2. Probar que la tarea sí que es posible cuando $r=73$.
3. ¿Es posible realizar la tarea para $r=97$?

Sea $P$ un punto del interior del triángulo $ABC$ tal que \[\angle APB-\angle ACB=\angle APC-\angle ABC.\] Sean $D$ y $E$ los incentros de los triángulos $APB$ y $APC$, respectivamente. Demostrar que las rectas $AP$, $BD$ y $CE$ tienen un punto en común.

Sea $S$ el conjunto de los enteros no negativos. Encontrar las funciones $f:S\to S$ tales que \[f(m+f(n))=f(f(m))+n\qquad\text{para todo }m,n\in S.\]

Sean $a$ y $b$ enteros positivos tales que $15a+16b$ y $16a-15b$ sean ambos cuadrados perfectos de enteros positivos. ¿Cuál es el mayor valor que puede tomar el menor de estos dos cuadrados?

Sea $ABCDEF$ un hexágono convexo tal que $AB$ es paralelo a $DE$, $BC$ es paralelo a $DF$ y $CD$ es paralelo a $FA$. Sean $R_A,R_C,R_E$ los circunradios de los triángulos $FAB,BCD,DEF$, respectivamente, y sea $p$ el perímetro del hexágono. Demostrar que \[R_A+R_B+R_C\geq\frac{p}{2}.\]

Sean $p,q,n$ tres enteros positivos con $p+q\lt n$. Sea $(x_0,x_1,\ldots,x_n)$ una $(n+1)$-upla de enteros que verifican las siguientes dos condiciones:

• $x_0=x_n=0$,
• $x_i-x_{i+1}=p$ o bien $x_i-x_{i+1}=q$ para todo $1\leq i\leq n$.

Probar que hay índices $i\lt j$ con $(i,j)\neq(0,n)$ tales que $x_i=x_j$.