Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Se considera el plano como un tablero de ajedrez infinito en el que las casillas están coloreadas de blanco y negro de forma alternada y los vértices de las casillas son los puntos de coordenadas enteras. Para cada par de enteros positivos $m$ y $n$, consideremos un triángulo rectángulo cuyos vértices tienen coordenadas enteras y cuyos catetos tienen longitudes $m$ y $n$ y están contenidos en los ejes de la cuadrícula.

Sea $S_1$ el área total de la parte negara del triángulo y $S_2$ el área total de la parte blanca. Definimos entonces \[f(m,n)=|S_1-S_2|.\]

1. Calcular $f(m,n)$ para todos los enteros positivos $m$ y $n$ que son ambos pares o ambos impares.
2. Demostrar que $f(m,n)\leq\frac{1}{2}\max\{m,n\}$ para todo $m$ y $n$.
3. Probar que no hay ninguna constante $C$ tal que $f(m,n)\lt C$ para todo $m$ y $n$.

Sea $ABC$ un triángulo cuyo ángulo menor es el del vértice $A$. Los puntos $B$ y $C$ dividen a la circunferencia circunscrita del triángulo en dos arcos y supongamos que $U$ es un punto en el arco que no contiene a $A$. Las mediatrices de $AB$ y $AC$ cortan a la recta $AU$ en $V$ y $W$, respectivamente, y las rectas $BV$ y $BW$ se cortan en $T$. Demostrar que \[AU=TB+TC.\]

Sean $x_1,x_2,\ldots,x_n$ números reales tales que $|x_1+\ldots+x_n|=1$ y $|x_i|\leq\frac{n+1}{2}$ para $1\leq i\leq n$. Demostrar que existe una permutación $y_1,y_2,\ldots,y_n$ de $x_1,x_2,\ldots,x_n$ tal que \[|y_1+2y_2+\ldots+ny_n|\leq\frac{n+1}{2}.\]

Una matriz $n\times n$ cuyas entradas son elementos del conjunto $S=\{1,2,\ldots,2n-1\}$ se dice plateada si la columna $i$-ésima junto con la fila $i$-ésima contienen todos los elementos de $S$ para todo $1\leq i\leq n$.

1. Demostrar que no hay ninguna matriz plateada para $n=1997$.
2. Demostrar que existen matrices plateadas para infinitos valores de $n$.

Encontrar todos los pares $(a,b)$ de enteros positivos que cumplen la ecuación \[a^{b^2}=b^a.\]

Para cada entero positivo $n$, sea $f(n)$ el número de formas distintas de representar $n$ como suma de potencias de $2$ con exponentes no negativos (representaciones que difieren solamente en el orden de los sumandos se consideran iguales). Por ejemplo, $f(4)=4$ porque el número $4$ se puede representar solo de las siguientes cuatro formas distintas: \[4=2+2=2+1+1=1+1+1+1.\] Demostrar que, para cualquier entero $n\geq 3$, se cumple que \[2^{n^2/4}\lt f(2^n)\lt 2^{n^2/2}.\]