Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

En un cuadrilátero convexo $ABCD$, las diagonales $AC$ y $BD$ son perpendiculares y los lados opuestos $AB$ y $CD$ no son paralelos. Supongamos que el punto $P$ en el que se cortan las mediatrices de $AB$ y $DC$ es interior a $ABCD$. Demostrar que $ABCD$ es cíclico si y sólo si las triángulos $ABP$ y $CDP$ tienen la misma área.

En una competición hay $a$ participantes y $b$ jueces, siendo $b\geq 3$ un entero impar. Cada juez califica a cada participante con apto o no apto. Supongamos que $k$ es un número tal que, para cada dos jueces, sus calificaciones coinciden para al menos $k$ participantes. Demostrar que \[\frac{k}{a}\geq\frac{b-1}{2b}.\]

Para cada entero positivo $n$, definimos $f(n)$ como el número de divisores positivos de $n$, incluyendo $1$ y $n$. Hallar los enteros positivos $k$ tales que $d(n^2)/d(n)=k$ para algún $n$.

Hallar todos los pares de enteros positivos $(a,b)$ tales que $ab^2+b+7$ divide a $a^2b+a+b$.

Sea $I$ el incentro de un triángulo $ABC$ y supongamos que la circunferencia inscrita de $ABC$ es tangente a los lados $BC,CA,AB$ en los puntos $K,L,M$, respectivamente. La recta que pasa por $B$ y es paralela a $MK$ corta a las rectas $LM$ y $LK$ en $R$ y $S$, respectivamente. Demostrar que el ángulo $RIS$ es agudo.

Sea $\mathbb{N}$ el conjunto de lo enteros positivos. De entre todas las funciones $f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ que cumplen que $f(t^2f(s))=s(f(t))^2$ para todo $s,t\in\mathbb{N}$, hallar el menor valor posible de $f(1998)$.