Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sean $CAMN$ y $NMDB$ cuadriláteros cíclicos y supongamos que $AB$ es una tangente común a sus circunferencias circunscritas, siendo $M$ un punto interior del segmento $CD$ y $CD$ paralela a $AB$. Las cuerdas $NA$ y $CM$ se cortean $P$ y las cuerdas $NB$ y $MD$ se cortan en $Q$. Si las rectas $CA$ y $BD$ se cortan en $E$, demostrar que $PE=QE$.

Sean $A,B,C$ reales positivos cuyo producto es $1$. Probar que \[\left(A-1+\frac{1}{B}\right)\left(B-1+\frac{1}{C}\right)\left(C-1+\frac{1}{A}\right)\leq 1.\]

Sean $k\gt 0$ un número real y $N\geq 2$ un número entero . Se tienen $N$ puntos distribuidos a lo largo de una recta, de forma que no son todos el mismo punto. Un movimiento consiste en elegir dos de los puntos $A$ y $B$ de forma que $A$ está a la derecha de $B$ y sustituir $B$ por el punto $B'$ a la derecha de $A$ que cumple $AB'=kBA$. Determinar los vlores de $k$ para los que podemos mover los puntos arbitrariamente lejos hacia la derecha mediante movimientos de este tipo.

Tenemos 100 cartas numeradas del $1$ al $100$ y colocadas en tres cajas de forma que en cada caja hay al menos una carta. Además, se sabe que si elegimos dos cajas, extraemos una carta cualquiera de cada una de ellas y sumamos los resultados, hay información suficiente para identificar cuál es la tercera caja. ¿De cuántas maneras distintas se pueden haber colocado las cartas?

¿Existe algún número natural $N$ divisible por exactamente $2000$ primos distintos de forma que $N$ divide a $2^N+1$?

Nota. $N$ podría ser divisible por una potencia de dichos primos.

Sea $A_1A_2A_3$ un triángulo acutángulo. El pie de la altura desde $A_i$ se denota por $K_i$ y el punto de tangencia del círculo inscrito en el lado opuesto a $A_i$ por $L_i$. La recta $K_1K_2$ se refleja respecto de la recta $L_1L_2$ y, de forma análoga, $K_2K_3$ se refleja respecto de $L_2L_3$ y $K_3K_1$ se refleja respecto de $L_3L_1$. Probar que las nuevas rectas así obtenidas forman un triángulo con vértices en la circunferencia inscrita de $A_1A_2A_3$.