Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con circuncentro $O$. Sea $P$ el pie de la altura desde $A$. Supongamos que $\angle BCA\geq\angle ABC+30^\circ$. Demostrar que \[\angle CAB+\angle COP\lt 90^\circ.\]

Demostrar que \[\frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+8ca}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+8ab}}\geq 1\] para cualesquiera números reales positivos $a$, $b$ y $c$.

Veintiuna chicas y veintiún chicos tomaron parte en un concurso matemático. Cada participante resolvió a lo sumo $6$ problemas. Si escogemos una chica y un chico aleatoriamente, al menos hay un problema resuelto por ambos. Demostrar que hubo un problema que resolvieron al menos tres chicas y al menos tres chicos.

Sea $n\gt 1$ un entero impar y sean $k_1,k_2,\ldots,k_n$ números enteros. Si $a=(a_1,\ldots,a_n)$ es una de las $n!$ permutaciones de los números del $1$ al $n$, sea \[S(a)=\sum_{k=1}^nk_ia_i.\] Demostrar que hay dos permutaciones distintas $b$ y $c$ tales que $n!$ de $S(b)-S(c)$.

En un triángulo $ABC$, supongamos que $AP$ y $BQ$ son las bisectrices de los ángulos $\angle BAC$ y $\angle ABC$, respectivamente, siendo $P$ un punto del lado $BC$ y $Q$ un punto del lado $CA$. Supongamos que $\angle BAC=60^\circ$ y que $AB+BP=AQ+QB$. ¿Cuáles son los posibles valores de los ángulos del triángulo $ABC$?

Sean $a,b,c,d$ enteros tales que $a\gt b\gt c\gt d\gt 0$. Supongamos que \[ac+bd=(b+d+a-c)(b+d-a+c).\] Demostrar que $ab+cd$ no es primo.