Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sea $A$ un subconjunto del conjunto $S=\{1,2,\ldots,1000000\}$ con $101$ elementos exactamente. Demostrar que existen números $t_1,t_2,\ldots, t_{100}$ en $S$ tales que los conjuntos \[A_j = \{x + t_j: x\in A\}\quad\text{para }j=1,2,\ldots,100\] son disjuntos dos a dos.

Determinar todas las parejas de enteros positivos $(a,b)$ tales que \[\frac{a^2}{2ab^2-b^3+1}\] es un entero positivo.

Consideremos un hexágono convexo tal que para cualesquiera dos lados opuestos se verifica la siguiente propiedad: la distancia entre sus puntos medios es igual a $\sqrt{3}/2$ multiplicado por la suma de sus longitudes. Demostrar que todos los ángulos del hexágono son iguales.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo cuyos vértices están sobre una circunferencia. Sean $P$, $Q$ y $R$ los pies de las perpendiculares trazadas desde $D$ a las rectas $BC$, $CA$ y $AB$, respectivamente. Demostrar que $PQ=QR$ si y solo si las bisectrices de los ángulos $\angle ABC$ y $\angle ADC$ se cortan sobre la recta $AC$.

Sea $n$ un entero positivo y $x_1,x_2,\ldots,x_n$ números reales tales que $x_1\leq x_2\leq\ldots\leq x_n$.

1. Demostrar que \[\left(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n|x_i-x_j|\right)^2\leq\frac{2(n^2-1)}{3}\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n(x_i-x_j)^2.\]
2. Demostrar que se cumple la igualdad si y solo si $x_1,x_2,\ldots,x_n$ forman una progresión aritmética.

Sea $p$ un número primo. Demostrar que existe un número primo $q$ tal que, para todo entero $n$, el número $n^p-p$ no es divisible por $q$.