Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB\neq AC$. La circunferencia de diámetro $BC$ corta a los lados $AB$ y $AC$ en $M$ y $N$, respectivamente. Sea $O$ el punto medio de $BC$. Las bisectrices de los ángulos $\angle BAC$ y $\angle MON$ se cortan en $R$. Demostrar que las circunferencias circunscritas de los triángulos $BMR$ y $CNR$ tienen un punto común que pertenece al lado $BC$.

Encontrar todos los polinomios $P(x)$ con coeficientes reales que satisfacen la igualdad \[P(a-b)+P(b-c)+P(c-a)=2P(a+b+c)\] para todos los números reales $a,b,c$ tales que $ab+bc+ca=0$.

Un gancho es una figura formada por seis cuadrados unitarios como se muestra en el diagrama, o cualquiera de las figuras que se obtienen de ella rotándola o reflejándola. Determinar todos los rectángulos $m\times n$ que pueden cubrirse con ganchos de modo que el rectángulo se cubre sin huecos ni superposiciones y ninguna parte de ningún gancho sobresale del rectángulo.

Sea $n\geq 3$ un entero y sean $t_1,t_2,\ldots,t_n$ números reales positivos tales que \[n^2+1\gt (t_1+t_2+\ldots+t_n)\left(\frac{1}{t_1}+\frac{1}{t_2}+\ldots+\frac{1}{t_n}\right).\] Demostrar que $t_i,t_j,t_k$ son las medidas de los lados de un triángulo para todos los índices $i,j,k$ con $1\leq i\lt j\lt k\leq n$.

En un cuadrilátero convexo $ABCD$, la diagonal $BD$ no es la bisectriz ni del ángulo $\angle ABC$ ni del ángulo $\angle CDA$. Un punto $P$ en el interior de $ABCD$ verifica que $\angle PBC=\angle DBA$ y $\angle PDC=\angle BDA$. Demostrar que los vértices del cuadrilátero $ABCD$ pertenecen a una misma circunferencia si y solo si $AP=CP$.

Un entero positivo es alternante si en su representación decimal cada par de dígitos consecutivos tienen distinta paridad. Encontrar todos los enteros positivos que tienen un múltiplo que es alternante.