Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Se eligen seis puntos en los lados de un triángulo equilátero $ABC$: $A_1$ y $A_2$ en $BC$, $B_1$ y $B_2$ en $CA$ y $C_1$ y $C_2$ en $AB$. Estos puntos son los vértices de un hexágono convexo $A_1A_2B_1B_2C_1C_2$ cuyos lados son todos iguales. Demostrar que las rectas $A_1B_2$, $B_1C_2$ y $C_1A_2$ son concurrentes.

Sea $a_1,a_2,\ldots$ una sucesión de enteros que tiene infinitos términos positivos e infinitos términos negativos. Supongamos que para cada entero positivo $n$, los primeros $n$ términos $a_1,a_2,\ldots,a_n$ tienen $n$ restos distintos al ser divididos por $n$. Demostrar que cada entero se encuentra exactamente una vez en la sucesión.

Sean $x,y,z$ números reales positivos tales que $xyz\geq 1$. Probar que \[\frac{x^5-x^2}{x^5+y^2+z^2}+\frac{y^5-y^2}{x^2+y^5+z^2}+\frac{z^5-z^2}{x^2+y^2+z^5}\geq 0.\]

Consideremos la sucesión infinita definida por $a_n=2^n+3^n+6^n-1$ para todo entero $n\geq 1$. Determinar todos los enteros positivos que son primos relativos con todos los términos de la sucesión.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo que tiene los lados $BC$ y $AD$ iguales y no paralelos. Sean $E$ y $F$ puntos en los lados $BC$ y $AD$, respectivamente, que satisfacen $BE=DF$. Las rectas $AC$ y $BD$ se cortan en $P$, las rectas $BD$ y $EF$ se cortan en $Q$ y las rectas $EF$ y $AC$ se cortan en $R$. Consideremos todos los triángulos $PQR$ que se forman cuando $E$ y $F$ varían. Demuestre que las circunferencias circunscritas a esos triángulos tienen en común otro punto además de $P$.

En una competición de matemáticas se propusieron 6 problemas a los estudiantes. Cada par de problemas fue resuelto por más de $\frac{2}{5}$ de los estudiantes y nadie resolvió los 6 problemas. Demuestre que hay al menos dos estudiantes que resolvieron exactamente 5 problemas.