Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sea $ABC$ un triángulo y sea $I$ el centro de su circunferencia inscrita. Sea $P$ un punto en el interior del triángulo tal que \[\angle PBA + \angle PCA = \angle PBC + \angle PCB.\] Demostrar que $AP\geq AI$ y la igualdad se alcanza si y solo si $P=I$.

Decimos que una diagonal de un polígono regular $P$ de 2006 lados es un segmento bueno si sus extremos dividen al borde de $P$ en dos partes, cada una de ellas formada por un número impar de lados. Los lados de $P$ también se consideran segmentos buenos. Supongamos que $P$ se ha dividido en triángulos trazando 2003 diagonales de modo que ningún par de ellas se corta en el interior de $P$. Encontrar el máximo número de triángulos isósceles que puede haber tales que dos de sus lados son segmentos buenos.

Determinar el menor número real $M$ tal que la desigualdad \[|ab(a^2-b^2)+bc(b^2-c^2)+ca(c^2-a^2)|\leq M(a^2+b^2+c^2)^2\] se cumple para todos los números reales $a,b,c$.

Hallar todas las parejas de enteros $(x,y)$ tales que \[1+2^x+2^{2x+1}=y^2.\]

Sea $P(x)$ un polinomio de grado $n\gt 1$ con coeficientes enteros y sea $k$ un entero positivo. Consideremos el polinomio $Q(x)=P(P(\cdots P(P(x))\cdots))$, donde $P$ aparece $k$ veces. Demostrar que hay a lo sumo $n$ enteros $t$ tales que $Q(t)=t$.

Asignamos a cada lado $b$ de un polígono convexo $P$ el área máxima que puede tener un triángulo que tiene a $b$ como uno de sus lados y que está contenido en $P$. Demostrar que la suma de las áreas asignadas a los lados de $P$ es mayor o igual que el doble del área de $P$.