Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sean $a_1,a_2,\ldots,a_n$ numeros reales. Para $1\leq i\leq n$, se define \[d_i=\max\{a_j:1\leq j\leq i\}-\min\{a_j:i\leq j\leq n\}\] y sea $d=\max\{d_i:1\leq i\leq n\}$.

1. Demostrar que para cualesquiera números reales $x_1\leq x_2\leq\ldots\leq x_n$, se cumple que \[\max\{|x_i-a_i|:1\leq i\leq n\}\geq\frac{d}{2}.\]
2. Demostrar que hay números reales $x_1\leq x_2\leq\ldots\leq x_n$ para los cuales se alcanza la igualdad en la desigualdad del apartado (a).

Se consideran cinco puntos $A$, $B$, $C$, $D$ y $E$ tales que $ABCD$ es un paralelogramo y $BCED$ es un cuadrilátero cíclico y convexo. Sea $\ell$ una recta que pasa por $A$. Supongamos que $\ell$ corta al segmento $DC$ en un punto interior $F$ y a la recta $BC$ en $G$. Supongamos también que $EF=EG= EC$. Demostrar que $\ell$ es la bisectriz del ángulo $\angle DAB$.

En una competición de matemáticas, algunos participantes son amigos. La amistad es siempre recíproca. Decimos que un grupo de participantes es una clique si dos cualesquiera de ellos son amigos. (En particular, cualquier grupo con menos de dos participantes es una clique). Al número de elementos de una clique se le llama tamaño. Se sabe que en esta competición el mayor de los tamaños de las cliques es par. Demostrar que los participantes pueden distribuirse en dos aulas, de manera que el mayor de los tamaños de las cliques contenidas en un aula sea igual al mayor de los tamaños de las cliques contenidas en la otra.

En un triángulo $ABC$ la bisectriz del ángulo $\angle BCA$ corta a la circunferencia circunscrita en un punto $R$ ($R\neq C$), a la mediatriz de $BC$ en $P$ y a la mediatriz de $AC$ en $Q$. El punto medio de $BC$ es $K$ y el punto medio de $AC$ es $L$. Demostrar que los triángulos $RPK$ y $RQL$ tienen áreas iguales.

Sean $a$ y $b$ enteros positivos tales que $4ab-1$ divide a $(4a^2-1)^2$. Demostrar que $a=b$.

Sea $n$ un entero positivo. Se considera \[S=\{(x,y,z):x,y,z\in\{0,1,\ldots,n\}, x+y+z\gt 0\}\] como un conjunto de $(n+1)^2-1$ puntos en el espacio tridimensional. Determinar el menor número posible de planos cuya unión contiene a todos los puntos de $S$ pero no contiene a $(0,0,0)$.