Olimpiadas de Matemáticas
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La base de datos contiene 2434 problemas y 940 soluciones.
XLIX Olimpiada Matemática Internacional — 2008
Sesión 1 — 16 de julio de 2008
Problema 1928
IMO, 2008-P1
Un triángulo acutángulo $ABC$ tiene ortocentro $H$. La circunferencia con centro en el punto medio de $BC$ que pasa por $H$ corta a la recta $BC$ en $A_1$ y $A_2$. La circunferencia con centro en el punto medio de $CA$ que pasa por $H$ corta a la recta $CA$ en $B_1$ y $B_2$. La circunferencia con
centro en el punto medio de $AB$ que pasa por $H$ corta a la recta $AB$ en $C_1$ y $C_2$. Demostrar que $A_1$, $A_2$, $B_1$, $B_2$, $C_1$ y $C_2$ están sobre una misma circunferencia.
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Problema 1929
IMO, 2008-P2
- Demostrar que \[\frac{x^2}{(x-1)^2}+\frac{y^2}{(y-1)^2}+\frac{z^2}{(z-1)^2}\geq 1\] para todos los números reales $x,y,z$ distintos de $1$ y tales que $xyz=1$.
- Demostrar que existen infinitas ternas de números racionales $x,y,z$, distintos de $1$, con $xyz = 1$ para los cuales la desigualdad del apartado anterior es una igualdad.
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Problema 1930
IMO, 2008-P3
Demostrar que existen infinitos números enteros positivos $n$ tales que $n^2+1$ tiene un divisor primo mayor que $2n+\sqrt{2n}$.
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Sesión 2 — 17 de julio de 2008
Problema 1931
IMO, 2008-P4
Hallar todas las funciones $f:(0,\infty)\to(0,\infty)$ tales que
\[\frac{f(w)^2+f(x)^2}{f(y^2)+f(z^2)}=\frac{w^2+x^2}{y^2+z^2}\]
para todos los números reales positivos $w,x,y,z$ que satisfacen $wx=yz$.
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Problema 1932
IMO, 2008-P5
Sean $n$ y $k$ enteros positivos tales que $k\geq n$ y $k-n$ es par. Se tienen $2n$ lámparas numeradas $1, 2,\ldots, 2n$, cada una de las cuales puede estar encendida o apagada. Inicialmente todas las lámparas están apagadas. Se consideran sucesiones de pasos: en cada paso se selecciona
exactamente una lámpara y se cambia su estado (si está apagada se enciende, si está encendida se apaga).
Sea $N$ el número de sucesiones de $k$ pasos al cabo de los cuales las lámparas $1,2,\ldots,n$ quedan todas encendidas y las lámparas $n+1,n+2,\ldots,2n$ quedan todas apagadas. Sea $M$ el número de sucesiones de $k$ pasos al cabo de los cuales las lámparas $1,2,\ldots,n$ quedan todas encendidas, y las lámparas $n+1,n+2,\ldots,2n$ quedan todas apagadas sin haber sido nunca encendidas.
Calcular la razón $N/M$.
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Problema 1933
IMO, 2008-P6
Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo tal que las longitudes de los lados $BA$ y $BC$ son diferentes. Sean $\omega_1$ y $\omega_2$ las circunferencias inscritas dentro de los triángulos $ABC$ y $ADC$, respectivamente. Se supone que existe una circunferencia $\omega$ tangente a la prolongación del segmento $BA$ a continuación de $A$ y tangente a la prolongación del segmento $BC$ a continuación de $C$, la cual también es tangente a las rectas $AD$ y $CD$. Demostrar que el punto de intersección de las tangentes
comunes exteriores de $\omega_1$ y $\omega_2$ está sobre $\omega$.
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