Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sea $n$ un entero positivo y sean $a_1,\ldots,a_k$ ($k\geq 2$) enteros distintos del conjunto $\{1,\ldots,n\}$, tales que $n$ divide a $a_i(a_{i+1}-1)$, para $i=1,\ldots,k-1$. Demostrar que $n$ no divide a $a_k(a_1-1)$.

Sea $ABC$ un triángulo con circuncentro $O$. Sean $P$ y $Q$ puntos interiores de los lados $CA$ y $AB$, respectivamente. Sean $K$, $L$ y $M$ los puntos medios de los segmentos $BP$, $CQ$ y $PQ$, respectivamente, y $\Gamma$ la circunferencia que pasa por $K$, $L$ y $M$. Se sabe que la recta $PQ$ es tangente a la circunferencia $\Gamma$. Demostrar que $OP = OQ$.

Sea $\{s_1,s_2, s_3,\ldots\}$ una sucesión estrictamente creciente de enteros positivos tal que las subsucesiones \[\{s_{s_1},s_{s_2},s_{s_3},\ldots\}\qquad\text{y}\qquad \{s_{s_1+1},s_{s_2+1},s_{s_3+1},\ldots\}\] son ambas progresiones aritméticas. Demostrar que la sucesión original $\{s_1,s_2, s_3,\ldots\}$ es también una progresión aritmética.

Sea $ABC$ un triángulo con $AB=AC$. Las bisectrices de los ángulos $\angle CAB$ y $\angle ABC$ cortan a los lados $BC$ y $CA$ en $D$ y $E$, respectivamente. Sea $K$ el incentro del triángulo $ADC$. Supongamos que $\angle BEK = 45^\circ$. Determinar todos los posibles valores de $\angle CAB$.

Determinar todas las funciones $f$ del conjunto de los enteros positivos en el conjunto de los enteros positivos tales que, para todos los enteros positivos $a$ y $b$, existe un triángulo no degenerado cuyos lados miden \[a,\quad f(b)\quad\text{y}\quad f(b + f(a) − 1).\]

Nota. Un triángulo es no degenerado si sus vértices no están alineados.

Sean $a_1, a_2,\ldots,a_n$ enteros positivos distintos y $M$ un conjunto de $n-1$ enteros positivos que no contiene al número $s=a_1+a_2+\ldots+a_n$. Un saltamontes se dispone a saltar a lo largo de la recta real. Empieza en el punto $0$ y da $n$ saltos hacia la derecha de longitudes $a_1, a_2,\ldots, a_n$, en algún orden. Demostrar que el saltamontes puede organizar los saltos de manera que nunca caiga en un punto de $M$.