Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Determinar todas las funciones $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ tales que \[f(\lfloor x\rfloor y)=f(x)\lfloor f(y)\rfloor,\] para todos los números $x,y\in\mathbb{R}$.

Nota. $\lfloor z\rfloor$ denota el mayor entero menor o igual que $z$.

Sea $ABC$ un triángulo, $I$ su incentro y $\Gamma$ su circunferencia circunscrita. La recta $AI$ corta de nuevo a $\Gamma$ en $D$. Sean $E$ un punto en el arco de $\Gamma$ de extremos $BC$ y que contiene a $D$ y $F$ un punto en el lado $BC$ de forma que \[\angle BAF=\angle CAE\lt \tfrac{1}{2}\angle BAC.\] Sea $G$ el punto medio del segmento $IF$. Demostrar que las rectas $DG$ y $EI$ se cortan sobre $\Gamma$.

Sea $\mathbb{N}$ el conjunto de los enteros positivos. Determinar todas las funciones $g:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ tales que \[(g(m)+n)(m+g(n))\] es un cuadrado perfecto para todo $m,n\in\mathbb{N}$.

Sean $\Gamma$ la circunferencia circunscrita al triángulo $ABC$ y $P$ un punto en el interior del triángulo. Las rectas $AP$, $BP$ y $CP$ cortan de nuevo a $\Gamma$ en los puntos $K$, $L$ y $M$, respectivamente. La recta tangente a $\Gamma$ en $C$ corta a la recta $AB$ en $S$. Si se tiene que $SC = SP$, demostrar que $MK = ML$.

En cada una de las seis cajas $B_1, B_2, B_3, B_4, B_5, B_6$ hay inicialmente sólo una moneda. Se permiten dos tipos de operaciones:

• Tipo 1: Elegir una caja no vacía $B_j$, con $1\leq j\leq 5$, retirar una moneda de $B_j$ y añadir dos monedas a $B_{j+1}$.
• Tipo 2: Elegir una caja no vacía $B_k$, con $1\leq k\leq 4$, retirar una moneda de $B_k$ e intercambiar los contenidos de las cajas (posiblemente vacías) $B_{k+1}$ y $B_{k+2}$.

Determinar si existe una sucesión finita de estas operaciones que deja a las cajas $B_1, B_2, B_3, B_4, B_5$ vacías y a la caja $B_6$ con exactamente $2010^{2010^{2010}}$ monedas (obsérvese que a^{b^c} = a^{(b^c)}$).

Sea $a_1,a_2,a_3,\ldots$ una sucesión de números reales positivos. Sabemos que, para algún entero positivo s, se cumple que \[a_n=\max\{a_k+a_{n-k}:1\leq k\leq n-1\}\] para todo $n\gt s$. Demostrar que existen enteros positivos $\ell$ y $N$, con $\ell\leq s$, tales que $a_n = a_\ell + a_{n-\ell}$ para todo $n\geq N$.