Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Dado un triángulo $ABC$, el punto $J$ es el centro del excírculo opuesto al vértice $A$. Este excírculo es tangente al lado $BC$ en $M$, y a las rectas $AB$ y $AC$ en $K$ y $L$, respectivamente. Las rectas $LM$ y $BJ$ se cortan en $F$ y las rectas $KM$ y $CJ$ se cortan en $G$. Sea $S$ el punto de intersección de las rectas $AF$ y $BC$ y sea $T$ el punto de intersección de las rectas $AG$ y $BC$. Demostrar que $M$ es el punto medio de $ST$.

Nota. El excírculo de $ABC$ opuesto al vértice $A$ es la circunferencia que es tangente al segmento $BC$, a la prolongación del lado $AB$ más allá de $B$ y a la prolongación del lado $AC$ más allá de $C$.

Sea $n\geq 3$ un entero y sean $a_2, a_3,\ldots, a_n$ números reales positivos tales que $a_2a_3\cdots a_n =1$. Demostrar que \[(1+a_2)^2(1+a_3)^3\cdots(1+a_n)^n\gt n^n.\]

El juego de la adivinanza del mentiroso es un juego para dos jugadores $A$ y $B$. Las reglas del juego dependen de dos enteros positivos $k$ y $n$ conocidos por ambos jugadores. Al principio del juego, el jugador $A$ elige enteros $x$ y $N$ con $1\leq x\leq N$. El jugador $A$ mantiene $x$ en secreto y le dice a $B$ el verdadero valor de $N$. A continuación, el jugador $B$ intenta obtener información acerca de $x$ formulando preguntas a $A$ de la siguiente manera: en cada pregunta, $B$ especifica un conjunto arbitrario $S$ de enteros positivos (que puede ser uno de los especificados en alguna pregunta anterior), y pregunta a $A$ si $x$ pertenece a $S$. El jugador B puede hacer tantas preguntas de ese tipo como desee. Después de cada pregunta, el jugador $A$ debe responderla inmediatamente con sí o no, pero puede mentir tantas veces como quiera. La única restricción es que entre cualesquiera $k+1$ respuestas consecutivas, al menos una debe ser verdadera. Cuando $B$ haya formulado tantas preguntas como haya deseado, debe especificar un conjunto $X$ de a lo más $n$ enteros positivos. Si $x$ pertenece a $X$ entonces gana $B$; en caso contrario, pierde. Demostrar que:

1. Si $n\geq 2k$, entonces $B$ puede asegurarse la victoria.
2. Para todo $k$ suficientemente grande, existe un entero $n\geq 1.99^k$ tal que $B$ no puede asegurarse la victoria.

Hallar todas las funciones $f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}$ que cumplen la siguiente igualdad: \[f(a)^2 + f(b)^2 + f(c)^2 = 2f(a)f(b) + 2f(b)f(c) + 2f(c)f(a),\] para todos los enteros $a,b,c$ que satisfacen $a+b+c=0$.

Sea $n\geq 2$ un entero. Consideremos un tablero de tamaño $n\times n$ formado por $n^2$ cuadrados unitarios. Una configuración de $n$ fichas en este tablero se dice que es pacífica si en cada fila y en cada columna hay exactamente una ficha. Hallar el mayor entero positivo $k$ tal que, para cada configuración pacífica de $n$ fichas, existe un cuadrado de tamaño $k\times k$ sin fichas en sus $k^2$ cuadrados unitarios.

Hallar todos los enteros positivos $n$ para los cuales existen enteros no negativos $a_1,a_2,\ldots,a_n$ tales que \[\frac{1}{2^{a_1}}+\frac{1}{2^{a_2}}+\ldots+\frac{1}{2^{a_n}}=\frac{1}{3^{a_1}}+\frac{2}{3^{a_2}}+\ldots+\frac{n}{3^{a_n}}=1.\]