Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Decimos que un conjunto finito $\mathcal S$ de puntos del plano es equilibrado si para cada dos puntos distintos $A$ y $B$ de $\mathcal{S}$ hay un punto $C$ en $\mathcal{S}$ tal que $AC=BC$. Decimos que $\mathcal{S}$ es libre de centros si para cada tres puntos distintos $A,B,C$ de $\mathcal{S}$ no existe ningún punto $P$ en $\mathcal{S}$ tal que $PA=PB=PC$.

1. Demostrar que para todo $n\geq 3$ existe un conjunto equilibrado de $n$ puntos.
2. Determinar todos los enteros $n\geq 3$ para los que existe un conjunto de $n$ puntos equilibrado y libre de centros.

Determinar todas las ternas $(a,b,c)$ de enteros positivos tales que cada uno de los números $ab-c,bc-a,ca-b$ es una potencia de $2$.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB\gt AC$. Sea $\Gamma$ su circunferencia circunscrita, $H$ su ortocentro y $F$ el pie de la altura desde $A$. Sea $M$ el punto medio del segmento $BC$. Sea $Q$ el punto de $\Gamma$ tal que $\angle HQA=90^\circ$ y sea $K$ el punto de $\Gamma$ tal que $\angle HKQ=90^\circ$. Supongamos que los puntos $A$, $B$, $C$, $K$ y $Q$ son todos distintos y están sobre $\Gamma$ en ese orden. Demostrar que la circunferencia circunscrita al triángulo $KQH$ es tangente a la circunferencia circunscrita al triángulo $FKM$.

El triángulo $ABC$ tiene circunferencia circunscrita $\Omega$ y circuncentro $O$. Una circunferencia $\Gamma$ de centro $A$ corta al segmento $BC$ en los puntos $D$ y $E$ tales que $B,D,E,C$ son todos diferentes y están en la recta $BC$ en este orden. Sean $F$ y $G$ los puntos de intersección de $\Gamma$ y $\Omega$ tales que $A,F,B,C,G$ están sobre $\Omega$ en este orden. Sea $K$ el segundo punto de intersección de la circunferencia circunscrita al triángulo $BDF$ y el segmento $AB$. Sea $L$ el segundo punto de intersección de la circunferencia circunscrita al triángulo $CGE$ y el segmento $CA$. Supongamos que las rectas $FK$ y $GL$ son distintas y se cortan en el punto $X$. Demostrar que $X$ está en la recta $AO$.

Determinar todas las funciones $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ que satisfacen la ecuación \[f(x+f(x+y))+f(xy)=x+f(x+y)+yf(x)\] para todos los números reales $x,y\in\mathbb{R}$.

La sucesión de enteros $\{a_1,a_2,\ldots\}$ satisface las siguinentes condiciones:

• $1\leq a_j\leq 2015$ para todo $j\geq 1$;
• $k+a_k\neq \ell+a_{\ell}$ para todo $1\leq k\lt\ell$.

Demostrar que existen dos enteros positivos $b$ y $N$ tales que \[\left|\sum_{j=m+1}^n(a_j-b)\right|\leq 1007^2\] para todos los enteros $m$ y $n$ que satisfacen $n\gt m\geq N$.