Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Para cad entero $a_0\gt 1$, se define la sucesión $\{a_0,a_1,a_2,\ldots\}$ tal que, para cada $n\geq 0$, \[a_{n+1}=\begin{cases}\sqrt{a_n}&\text{si }\sqrt{a_n}\text{ es entero},\\ a_n+3&\text{en caso contrario}.\end{cases}\] Determinar todos los valores de $a_0$ para los que existe un número $A$ tal que $a_n=A$ para infinitos valores de $n$.

Determinar todas las funciones $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ tales que, para cualesquiera números reales $x$ e $y$, se cumple que \[f(f(x)f(y))+f(x+y)=f(xy).\]

Un conejo invisible y un cazador juegan como sigue en el plano euclídeo. El punto de partida $A_0$ del conejo, y el punto de partida $B_0$ del cazador son el mismo. Después de $n-1$ rondas del juego, el conejo se encuentra en el punto $A_{n-1}$ y el cazador se encuentra en el punto $B_{n−1}$. En la $n$-ésima ronda del juego, ocurren tres hechos en el siguiente orden:

• El conejo se mueve de forma invisible a un punto $A_n$ tal que la distancia entre $A_{n−1}$ y $A_n$ es exactamente $1$.
• Un dispositivo de rastreo reporta un punto $P_n$ al cazador. La única información segura que da el dispositivo al cazador es que la distancia entre $P_n$ y $A_n$ es menor o igual que $1$.
• El cazador se mueve de forma visible a un punto $B_n$ tal que la distancia entre $B_{n-1}$ y $B_n$ es exactamente $1$.

¿Es siempre posible que, cualquiera que sea la manera en que se mueva el conejo y cualesquiera que sean los puntos que reporte el dispositivo de rastreo, el cazador pueda escoger sus movimientos de modo que después de $109$ rondas el cazador pueda garantizar que la distancia entre él mismo y el conejo sea menor o igual que $100$?

Sean $R$ y $S$ puntos distintos sobre la circunferencia $\Omega$ tales que $RS$ no es un diámetro de $\Omega$. Sea $\ell$ la recta tangente a $\Omega$ en $R$. El punto $T$ es tal que $S$ es el punto medio del segmento $RT$. El punto $J$ se elige en el arco menor $RS$ de $\Omega$ de manera que $\Gamma$, la circunferencia circunscrita al triángulo $JST$, corta a $\ell$ en dos puntos distintos. Sea $A$ el punto común de $\Gamma$ y $\ell$ más cercano a $R$. La recta $AJ$ corta por segunda vez a $\Omega$ en $K$. Demostrar que la recta $KT$ es tangente a $\Gamma$.

Sea $N\gt 2$ un entero dado. Los $N(N + 1)$ jugadores de un grupo de futbolistas, todos de distinta estatura, se colocan en fila. El técnico desea quitar $N(N-1)$ jugadores de esta fila, de modo que la fila resultante formada por los $2N$ jugadores restantes satisfaga las $N$ condiciones siguientes:

• Que no quede nadie ubicado entre los dos jugadores más altos.
• Que no quede nadie ubicado entre el tercer jugador más alto y el cuarto jugador más alto.
• $\ldots$
• Que no quede nadie ubicado entre los dos jugadores de menor estatura.

Demostrar que esto siempre es posible.

Un par ordenado $(x, y)$ de enteros es un punto primitivo si el máximo común divisor de $x$ e $y$ es $1$. Dado un conjunto finito $S$ de puntos primitivos, demostrar que existen un entero positivo $n$ y enteros $a_0, a_1,\ldots, a_n$ tales que, para cada $(x,y)$ de $S$, se cumple que \[a_0x_n + a_1x^{n−1}y + a_2x^{n−2}y^2 +\ldots+ a_{n−1}xy^{n−1} + a_ny^n = 1.\]