Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Determinar todas las funciones $f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}$ tales que, para todos los enteros $a$ y $b$, \[f(2a) + 2f(b) = f(f(a + b)).\]

En el triángulo $ABC$, el punto $A_1$ está en el lado $BC$ y el punto $B_1$ está en el lado $AC$. Sean $P$ y $Q$ puntos en los segmentos $AA_1$ y $BB_1$, respectivamente, tales que $PQ$ es paralelo a $AB$. Sea $P_1$ un punto en la recta $PB_1$ distinto de $B_1$, con $B_1$ entre $P$ y $P_1$, y $\angle PP_1C = \angle BAC$. Análogamente, sea $Q_1$ un punto en la recta $QA_1$ distinto de $A_1$, con $A_1$ entre $Q$ y $Q_1$, y $\angle CQ_1Q = \angle CBA$. Demostrar que los puntos $P, Q, P_1, Q_1$ son concíclicos.

Una red social tiene 2019 usuarios, algunos de los cuales son amigos. Siempre que el usuario A es amigo del usuario B, el usuario B también es amigo del usuario A. Eventos del siguiente tipo pueden ocurrir repetidamente, uno a la vez:

Tres usuarios A, B, y C tales que A es amigo de B y de C, pero B y C no son amigos, cambian su estado de amistad de modo que B y C ahora son amigos, pero A ya no es amigo ni de B ni de C. Las otras relaciones de amistad no cambian.

Inicialmente, hay 1010 usuarios que tienen 1009 amigos cada uno, y hay 1009 usuarios que tienen 1010 amigos cada uno. Demostrar que hay una sucesión de este tipo de eventos después de la cual cada usuario es amigo como máximo de uno de los otros usuarios.

Encontrar todos los pares $(k,n)$ de enteros positivos tales que \[k!=(2n-1)(2n-2)(2n-4)\cdots (2n-2^{n-1}).\]

El Banco de Bath emite monedas con una $H$ en una cara y una $T$ en la otra. Harry tiene $n$ monedas de este tipo alineadas de izquierda a derecha. Él realiza repetidamente la siguiente operación: si hay exactamente $k\gt 0$ monedas con la $H$ hacia arriba, Harry voltea la $k$-ésima moneda contando desde la izquierda; en caso contrario, todas las monedas tienen la $T$ hacia arriba y él se detiene. Por ejemplo, si $n=3$ y la configuración inicial es $THT$, el proceso sería $THT\to HHT\to HTT\to TTT$, que se detiene después de tres operaciones.

1. Demostrar que para cualquier configuración inicial que tenga Harry, el proceso se detiene después de un número finito de operaciones.
2. Para cada configuración inicial $C$, sea $L(C)$ el número de operaciones que se realizan hasta que Harry se detiene. Por ejemplo, $L(THT)=3$ y $L(TTT)=0$. Determinar el valor promedio de $L(C)$ sobre todas las $2^n$ posibles configuraciones iniciales de $C$.

Sea $I$ el incentro del triángulo acutángulo $ABC$ con $AB\neq AC$. La circunferencia inscrita (o incírculo) $\omega$ de $ABC$ es tangente a los lados $BC$, $CA$ y $AB$ en $D$, $E$ y $F$, respectivamente. La recta que pasa por $D$ y es perpendicular a $EF$ corta a $\omega$ nuevamente en $R$. La recta $AR$ corta a $\omega$ nuevamente en $P$. Las circunferencias circunscritas (o circuncírculos) de los triángulos $PCE$ y $PBF$ se cortan nuevamente en $Q$. Demostrar que las rectas $DI$ y $PQ$ se cortan en la recta que pasa por $A$ y es perpendicular a $AI$.