Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Consideremos el cuadrilátero convexo $ABCD$. Supongamos que un punto $P$ en el interior de $ABCD$ cumple las siguientes razones: \[\angle PAD:\angle PBA:\angle DPA=1:2:3=\angle CBP:\angle BPA:\angle BPC.\] Demostrar que las siguientes tres rectas concurren en un punto: la bisectriz interior del ángulo $\angle ADP$, la bisectriz interior del ángulo $\angle PCB$ y la mediatriz del segmento $AB$.

Los números reales $a,b,c,d$ son tales que $a\geq b\geq c\geq d>0$ y $a+b+c+d=1$. Demostrar que \[(a+2b+3c+4d)a^ab^bc^cd^d\lt 1.\]

Se tienen $4n$ piedras de pesos $1,2,3,\ldots,4n$. Cada una de ellas se colorea de uno de entre $n$ colores distintos, de forma que hay exactamente cuatro piedras de cada color. Demostrar que las piedras se pueden colocar en dos montones de tal forma que se cumplen las siguientes dos condiciones:

1. Los pesos totales de ambos montones son iguales.
2. Cada montón tiene dos piedras de cada color.

Sea $n\gt 1$ un entero. A lo largo de la pendiente de una montaña hay $n^2$ estaciones, todas a diferentes altitudes. Dos compañías de teleférico, $A$ y $B$, operan $k$ teleféricos cada una. Cada teleférico realiza el servicio desde una estación a otra de mayor altitud (sin paradas intermedias). Los teleféricos de la compañía $A$ parten de $k$ estaciones diferentes y acaban en $k$ estaciones diferentes; igualmente, si un teleférico parte de una estación más alta que la de otro, también acaba en una estación más alta que la del otro. La compañía $B$ satisface las mismas condiciones. Decimos que dos estaciones están unidas por una compañía si uno puede comenzar por la más baja y llegar a la más alta con uno o más teleféricos de esa compañía (no se permite otro tipo de movimientos entre estaciones).

Determinar el menor entero positivo $k$ para el cual se puede garantizar que hay dos estaciones unidas por ambas compañías.

Se tiene una baraja de $n\gt 1$ cartas, con un entero positivo escrito en cada carta. La baraja tiene la propiedad de que la media aritmética de los números escritos en cada par de cartas es también la media geométrica de los números escritos en alguna colección de una o más cartas. ¿Para qué valores de $n$ se tiene necesariamente que los números escritos en las cartas son todos iguales?

Probar que existe una constante positiva $c$ para la que se satisface la siguiente afirmación:

Sea $n\gt 1$ un entero y sea $\mathcal S$ un conjunto de $n$ puntos del plano tal que la distancia entre cualesquiera dos puntos diferentes de $\mathcal S$ es al menos $1$. Entonces existe una recta $\ell$ separando S tal que la distancia de cualquier punto de $\mathcal S$ a $\ell$ es al menos $cn^{−1/3}$.

Nota: Decimos que una recta $\ell$ separa a $\mathcal S$ si corta a alguno de los segmentos que unen dos puntos de $\mathcal S$.