Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sea $n\geq 100$ un entero. Iván escribe cada uno de los números $n,n+1,\ldots,2n$ en una carta diferente. Después de barajar estas $n+1$ cartas, las divide en dos pilas distintas. Probar que al menos una de esas pilas contiene dos cartas tales que la suma de sus números es un cuadrado perfecto.

Probar que la desigualdad \[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\sqrt{|x_i-x_j|}\leq\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\sqrt{|x_i+x_j|}\] se satisface para cualquier elección de números reales $x_1,x_2,\ldots,x_n$.

Sea $D$ un punto interior de un triángulo acutángulo $ABC$, con $AB\gt AC$, de forma que $\angle DAB = \angle CAD$. Un punto $E$ en el segmento $AC$ satisface $\angle ADE = \angle BCD$, un punto $F$ en el segmento $AB$ satisface $\angle FDA = \angle DBC$, y un punto $X$ en la recta $AC$ satisface $CX=BX$. Sean $O_1$ y $O_2$ los circuncentros de los triángulos $ADC$ y $EXD$ respectivamente. Probar que las rectas $BC$, $EF$ y $O_1O_2$ son concurrentes.

Sean $\Gamma$ una circunferencia con centro $I$ y $ABCD$ un cuadrilátero convexo tal que cada uno de los segmentos $AB$, $BC$, $CD$ y $DA$ es tangente a $\Gamma$. Sea $\Omega$ la circunferencia circunscrita del triángulo $AIC$. La prolongación de $BA$ más allá de $A$ corta a $\Omega$ en $X$ y la prolongación de $BC$ más allá de $C$ corta a $\Omega$ en $Z$. Las prolongaciones de $AD$ y $CD$ más allá de $D$ cortan an $\Omega$ en $Y$ y $T$, respectivamente. Probar que \[AD + DT + TX + XA = CD + DY + Y Z + ZC.\]

Dos ardillas, Ardi y Dilla, han recolectado $2021$ nueces para el invierno. Ardi numera las nueces desde $1$ hasta $2021$ y excava $2021$ pequeños hoyos en el suelo en una disposición circular alrededor de su árbol favorito. A la mañana siguiente, Ardi observa que Dilla ha colocado una nuez en cada hoyo, pero sin tener en cuenta la numeración. No contenta con esto, Ardi decide reordenar las nueces realizando una secuencia de $2021$ movimientos. En el $k$-ésimo movimiento Ardi intercambia las posiciones de las dos nueces adyacentes a la nuez con el número $k$. Probar que existe un valor de $k$ tal que, en el $k$-ésimo movimiento, las nueces intercambiadas tienen números $a$ y $b$ tales que $a\lt k\lt b$.

Sean $m\geq 2$ un entero, $A$ un conjunto finito de enteros (no necesariamente positivos), y $B_1,B_2,B_3,\ldots,B_m$ subconjuntos de $A$. Supongamos que, para cada $k=1,2,\ldots,m$, la suma de los elementos de $B_k$ es $m^k$. Probar que $A$ contiene al menos $m/2$ elementos.