Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

El Banco de Oslo emite dos tipos de monedas: de aluminio (denotadas por $A$) y de bronce (denotadas por $B$). Mariana tiene $n$ monedas de aluminio y $n$ monedas de bronce, colocadas en fila en un orden inicialmente arbitrario. Una cadena es una sucesión de monedas consecutivas todas del mismo tipo. Dado un entero positivo $k\leq 2n$, Mariana realiza repetidamente la siguiente operación: primero identifica la cadena más larga que contiene la $k$-ésima moneda desde la izquierda y después reubica todas las monedas de esa cadena al extremo izquierdo de la fila. Por ejemplo, si $n=4$ y $k=4$, el proceso que comienza con el orden inicial $AABBBABA$ será \begin{align*} AAB\underline{B}BABA &\to BBB\underline{A}AABA \to AAA\underline{B}BBBA\to\\ &\to BBB\underline{B}AAAA \to BBB\underline{B}AAAA \to \cdots \end{align*} Hallar todas las parejas $(n,k)$ con $1\leq k\leq 2n$ tales que, cualquiera que sea el orden inicial, en algún momento durante el proceso las $n$ monedas de la izquierda serán todas del mismo tipo.

Sea $\mathbb{R}^+$ el conjunto de los números reales positivos. Hallar todas las funciones $f:\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}^+$ tales que, para cada $x\in\mathbb{R}^+$, existe exactamente un $y\in\mathbb{R}^+$ que satisface \[xf(y)+yf(x)\leq 2.\]

Sea $k$ un entero positivo y sea $S$ un conjunto finito de números primos impares. Demostrar que existe a lo sumo una manera (sin contar rotaciones y reflexiones) de colocar los elementos de $S$ alrededor de una circunferencia de modo que cada producto de dos números que son vecinos sea de la forma $x^2 + x + k$ para algún entero positivo $x$.

Sea $ABCDE$ un pentágono convexo tal que $BC = DE$. Supongamos que existe un punto $T$ en el interior de $ABCDE$ tal que $TB = TD$, $TC = TE$ y $\angle ABT = \angle TEA$. La recta $AB$ corta a las rectas $CD$ y $CT$ en los puntos $P$ y $Q$, respectivamente. Supongamos que los puntos $P,B,A,Q$ están sobre su recta en ese orden. La recta $AE$ corta a las rectas $CD$ y $DT$ en los puntos $R$ y $S$, respectivamente. Supongamos que los puntos $R,E,A,S$ aparecen sobre su recta en ese orden. Demostrar que los puntos $P,S,Q,R$ están en una misma circunferencia.

Hallar todas las ternas $(a,b,p)$ de números enteros positivos con $p$ primo que satisfacen \[a^p=b!+p.\]

Sea $n$ un número entero positivo. Un cuadrado nórdico es un tablero $n\times n$ que contiene todos los números enteros del $1$ al $n^2$ de modo que cada celda contiene exactamente un número. Dos celdas diferentes son adyacentes si comparten un mismo lado. Una celda que solamente es adyacente a celdas que contienen números mayores se llama un valle. Un camino ascendente es una sucesión de una o más celdas tales que:

• la primera celda de la sucesión es un valle,
• cada celda subsiguiente de la sucesión es adyacente a la celda anterior, y
• los números escritos en las celdas de la sucesión están en orden creciente.

Hallar el menor número total de caminos ascendentes en un cuadrado nórdico en función de $n$.