Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Determinar todos los enteros compuestos $n\gt 1$ que satisfacen la siguiente propiedad: si $d_1,d_2,\ldots,d_k$ son todos los divisores positivos de $n$ con $1 = d_1\lt d_2\lt\cdots\lt d_k=n$, entonces $d_i$ divide a $d_{i+1}+d_{i+2}$ para cada $1\leq i\leq k−2$.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB\lt AC$. Sea $\Omega$ el circuncírculo de $ABC$. Sea $S$ el punto medio del arco $CB$ de $\Omega$ que contiene a $A$. La perpendicular por $A$ a $BC$ corta al segmento $BS$ en $D$ y a $\Omega$ de nuevo en $E\neq A$. La paralela a $BC$ por $D$ corta a la recta $BE$ en $L$. Sea $\omega$ el circuncírculo del triángulo $BDL$. Las circunferencias $\omega$ y $\Omega$ se cortan de nuevo en $P\neq B$. Demostrar que la recta tangente a $\omega$ en $P$ corta a la recta $BS$ en un punto de la bisectriz interior del ángulo $\angle BAC$.

Para cada entero $k\geq 2$, determinar todas las sucesiones infinitas de enteros positivos $\{a_1,a_2,\ldots\}$ para las cuales existe un polinomio $P$ de la forma $P(x) = x^k + c_{k−1}x^{k−1} +\ldots + c_1x + c_0$, con $c_0,c_1,\ldots,c_{k−1}$ enteros no negativos, tal que \[P(a_n)=a_{n+1}a_{n+2}\cdots a_{n+k}\] para todo entero $n\geq 1$.

Sean $x_1,x_2,\ldots,x_{2023}$ números reales positivos, todos distintos entre sí, tales que \[a_n=\sqrt{(x_1+x_2+\ldots+x_n)\Bigl(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\ldots+\frac{1}{x_n}\Bigr)}\] es entero para todo $n=1,2,\ldots,2023$. Demostrar que $a_{2023}\geq 3034$.

Sea $n$ un entero positivo. Un triángulo japonés consiste en $1+2+\ldots+n$ círculos iguales acomodados en forma de triángulo equilátero de modo que para cada $i=1,2,\ldots,n$, la fila número $i$ contiene $i$ círculos, de los cuales exactamente uno de ellos se pinta de rojo. Un camino ninja en un triángulo japonés es una sucesión de $n$ círculos que comienza con el círculo de la fila superior y termina en la fila inferior, pasando sucesivamente de un círculo a uno de los dos círculos inmediatamente debajo de él. En el siguiente dibujo se muestra un ejemplo de un triángulo japonés con $n = 6$, junto con un camino ninja en ese triángulo que contiene dos círculos rojos.

En términos de $n$, determina el mayor $k$ tal que cada triángulo japonés tiene un camino ninja que contiene al menos $k$ círculos rojos.

Sea $ABC$ un triángulo equilátero. Sean $A_1,B_1,C_1$ puntos interiores de ABC tales que $BA_1 = A_1C$, $CB_1 =B_1A$, $AC_1 =C_1B$ y \[\angle BA_1C + \angle CB_1A + \angle AC_1B = 480^\circ.\] Las rectas $BC_1$ y $CB_1$ se cortan en $A_2$, las rectas $CA_1$ y $AC_1$ se cortan en $B_2$ y las rectas $AB_1$ y $BA_1$ se cortan en $C_2$.

Demostrar que, si el triángulo $A_1B_1C_1$ es escaleno, entonces los tres circuncírculos de los triángulos $AA_1A_2$, $BB_1B_2$ y $CC_1C_2$ pasan todos por dos puntos comunes.