Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Una recta del plano se llama soleada si no es paralela ni al eje $x$, ni al eje $y$ ni a la recta $x+y=0$. Sea $n\geq 3$ un entero dado. Determinar todos los enteros no negativos $k$ para los que existen $n$ rectas distintas del plano que satisfacen simultáneamente las dos condiciones siguientes:

• Para cualesquiera enteros positovs $a$ y $b$ con $a+b\leq n+1$, el punto $(a,b)$ está en al menos una de estas rectas; y
• exactamente $k$ de estas $n$ rectas son soleadas.

Sean $\Omega$ y $\Gamma$ circunferencias de centros $M$ y $N$, respectivamente, tales que el radio de $\Omega$ es menor que el radio de $\Gamma$. Supongamos que las circunferencias $\Omega$ y $\Gamma$ se cortan en dos puntos distintos $A$ y $B$. La recta $MN$ corta a $\Omega$ en $C$ y a $\Gamma$ en $D$, de forma que los puntos $C,M,N,D$ están sobre esa recta en ese orden. Sea $P$ el circuncentro del triángulo $ACD$. La recta $AP$ corta de nuevo a $\Omega$ en $E\neq A$. La recta $AP$ corta de nuevo a $\Gamma$ en $F\neq A$. Sea $H$ el ortocentro del triángulo $PMN$. Demostrar que la recta paralela a $AP$ que pasa por $H$ es tangente a la circunferencia circunscrita del triángulo $BEF$.

Sea $\mathbb{N}$ el conjunto de los enteros positivos. Una función $f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ se llama genial si $f(a)$ dividea a $b^a-f(b)^{f(a)}$ para todos los enteros positivos $a$ y $b$. Determinar la menor constante real $c$ tal que $f(n)\leq cn$ para todas las funciones geniales $f$ y todos los enteros positivos $n$.

Un divisor propio de un entero positivo $N$ es un divisor positivo de $N$ distinto de $N$. La sucesión infinita $a_1, a_2,\ldots$ está formada por enteros positivos, cada uno de los cuales tiene al menos tres divisores propios, de modo que, para cada $n\geq 1$, el entero $a_{n+1}$ es la suma de los tres mayores divisores propios de $a_n$. Determinar todos los valores posibles de $a_1$.

Alicia y Beto están jugando al juego del koala, un juego para dos jugadores cuyas reglas dependen de un número real positivo $\lambda$, que ambos jugadores conocen. En el $n$-ésimo turno del juego (comenzando con $n=1$) ocurre lo siguiente:

• Si $n$ es impar, Alicia elige un número real no negativo $x_n$ tal que $$x_1 + x_2 +\ldots+ x_n\leq\lambda n.$$
• Si $n$ es par, Beto elige un número real no negativo $x_n$ tal que $$x_1^2+x_2^2+\ldots+x_n^2\leq n.$$

Si uno de los jugadores ya no puede elegir un número $x_n$, el juego termina y el otro jugador gana. Si el juego continúa indefinidamente, ninguno de los jugadores gana. Ambos jugadores siempre conocen los números elegidos. Determinar todos los valores de $\lambda$ para los cuales Alicia tiene una estrategia ganadora, y todos los valores de $\lambda$ para los cuales Beto tiene una estrategia ganadora.

Se considera una cuadrícula de $2025\times 2025$ cuadrados unitarios. Matilde desea colocar algunas fichas rectangulares sobre la cuadrícula, que pueden ser de tamaños distintos, de modo que cada lado de cada ficha se encuentra sobre una línea de la cuadrícula y cada cuadrado unitario está cubierto por a lo más una ficha. Determinar el número mínimo de fichas que Matilde necesita colocar de modo que cada fila y cada columna de la cuadrícula tiene exactamente un cuadrado unitario que no está cubierto por ninguna ficha.