Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

En una pizarra están escritos $2026$ enteros mayores que $1$, no necesariamente distintos. En cada paso, Confucio elige dos enteros $m\gt 1$ y $n\gt 1$ de diferentes lugares de la pizarra y los reemplaza por: \[ \operatorname{mcd}(m, n) \quad \text{y} \quad \frac{\operatorname{mcm}(m, n)}{\operatorname{mcd}(m, n)}. \] Continúa realizando estos pasos mientras sea posible.

1. Demostrar que, independientemente de las elecciones de Confucio, después de un número finito de pasos, exactamente un entero $M$ en la pizarra es mayor que $1$.
2. Demuestra que el valor de $M$ no depende de las elecciones de Confucio.

Sea $ABC$ un triángulo y sean $M$ y $N$ los puntos medios de los lados $AB$ y $AC$, respectivamente. Se eligen los puntos $K$ y $L$ estrictamente en el interior de los triángulos $BMC$ y $BNC$, respectivamente, de tal manera que $K$ está estrictamente en el interior del triángulo $ABL$ y $L$ está estrictamente en el interior del triángulo $AKC$. Supongamos también que \[ \angle KBA = \angle ACL, \quad \angle LBK = \angle LNC \quad \text{y} \quad \angle LCK = \angle BMK. \] Sea $O$ el circuncentro del triángulo $AKL$. Probar que $OM = ON$.

Sea $n$ un entero positivo. Liu Bang y Xiang Yu tienen una vara de longitud $1$ y quieren repartírsela. Primero, Liu Bang marca un máximo de $n$ puntos en la vara, y luego Xiang Yu marca un máximo de $n$ puntos en la vara. Todos los puntos marcados son distintos. A continuación, la vara se corta por todos los puntos marcados, quedando dividida en varios pedazos. Después, se turnan para elegir un pedazo de la vara que aún no haya sido reclamado, comenzando Liu Bang. El objetivo de cada jugador es maximizar la suma de las longitudes de sus propios pedazos.

Para cada $n$, determinar el mayor valor $c$ para el cual Liu Bang puede asegurarse una longitud total de al menos $c$, independientemente de cómo juegue Xiang Yu.

Shan-Yu y Mulan juegan a un juego. Sea $\theta$ un ángulo tal que $0^\circ\lt \theta\lt 180^\circ$ conocido por ambos jugadores. Inicialmente, Shan-Yu fabrica un triángulo de papel $\mathcal T$ con las medidas que él elija. A continuación, realizan repetidamente los siguientes pasos:

• Si $\mathcal T$ tiene al menos un ángulo que mide exactamente $\theta$, el juego termina y Mulan gana.
• En caso contrario, Mulan elige un punto $P$ en el perímetro de $\mathcal T$, distinto de sus tres vértices. Luego, realiza un corte recto desde $P$ hasta el vértice opuesto de $\mathcal T$, dividiéndolo en dos triángulos.
• Shan-Yu descarta uno de los dos triángulos. El triángulo restante se convierte en el nuevo $\mathcal T$.

¿Para qué valores reales de $\theta$ puede Mulan garantizar su victoria en un número finito de pasos, independientemente de cómo juegue Shan-Yu?

Sea $\mathbb{R}_{\gt 0}$ el conjunto de los números reales positivos. Hallar todas las funciones $f: \mathbb{R}_{\gt 0} \to \mathbb{R}_{\gt 0}$ tales que para todo $x, y \in \mathbb{R}_{\gt 0}$ se cumple que \[\sqrt{\frac{x^2+f(y)^2}{2}}\geq\frac{f(x)+y}{2}\geq\sqrt{xf(y)}.\]

Sea $a_1, a_2, a_3, \dots$ una sucesión infinita de enteros positivos mayores que $1$. Supongamos que para todo entero positivo $n$, el número $a_{n+1}$ es el menor entero positivo mayor que $a_n$ tal que $\operatorname{mcd}(a_{n+1}, a_i)\gt 1$ para todo $i \leq n$.

Demostrar que existen enteros positivos $c$ y $d$ tales que $a_n = cn + d$ para todo entero positivo $n$.