Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sea $P$ un polinomio no constante con coeficientes enteros. Definimos $n(P)$ como el número de enteros distintos $k$ tales que $P(k)^2=1$ y $\mathrm{gr}(P)$ como el grado de $P$. Demostrar que \[n(P)-\mathrm{gr}(P)\leq 2.\]

Demostrar que el número \[\sum_{k=0}^n\binom{2n+1}{2k+1}2^{3k}\] no es divisible por $5$ para ningún entero $n\geq 0$.

Demostrar que el conjunto de enteros de la forma $2^k-3$, siendo $k\geq 2$ un entero, contiene un subconjunto infinito en el que dos elementos cualesquiera son primos relativos.

Los números $p$ y $q$ son primos y cumplen que \[\frac{p}{p+1}+\frac{q+1}{q}=\frac{2n}{n+2}\] para algún entero positivo $n$. Hallar todos los valores posibles de $q-p$.

Demostrar que un número de 9 dígitos (en el sistema decimal ), todos ellos distintos y distintos de cero, que no es múltiplo de $5$, no puede ser un cuadrado perfecto.