Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Queremos demostrar que hay infinitos números primos congruentes con $3$ módulo $4$, para lo que adaptaremos la demostración clásica de Euclides suponiendo por reducción al absurdo que sólo hay un número finito de ellos, pongamos $p_1,p_2,\ldots,p_n$. Distinguiremos dos casos:

• Si $n$ es impar, entonces consideramos $N=p_1p_2\cdots p_n+4$, que es impar y congruente con $3$ módulo $4$. Por lo tanto, $N$ tendrá algún factor primo congruente con $3$ (observamos que $2$ no es un factor de $N$ y que no puede tener únicamente factores primos congruentes con $1$ pues el propio $N$ sería congruente con $1$ módulo $4$). Como $p_1,p_2,\ldots,p_n$ son todos los primos congruentes con $3$, esto quiere decir que $N$ será divisible por un $p_i$, lo que nos dice que $p_i$ también tiene que dividir a $4$, pero esto es una contradicción ya que $p_i\neq 2$.
• Si $n$ es par, entonces consideramos $N=p_1p_2\cdots p_n+2$, que vuelve a ser impar y congruente con $3$ módulo $4$. El mismo razonamiento anterior nos da una contradicción similar.