Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Determinar si puede existir un conjunto finito $M$ de puntos del espacio, no todos ellos coplanarios, tal que, para cualesquiera dos puntos $A$ y $B$ de $M$, podemos elegir otros dos puntos $C$ y $D$ en $M$ de forma que las rectas $AB$ y $CD$ son paralelas pero no coincidentes.

Dados cuatro planos paralelos distintos en el espacio, demostrar que existe un tetraedro regular que tiene un vértice en cada plano.

Demostrar que, para cada $n\geq 4$, cualquier cuadrilátero cíclico admite una disección en $n$ cuadriláteros cíclicos.

Todas las caras del tetraedro $ABCD$ son triángulos acutángulos. Consideremos todas las poligonales cerradas de la forma $XYZTX$ en las que $X,Y,Z,T$ son puntos interiores de las aristas $AB,BC,CD,DA$, respectivamente.

1. Si $\angle DAB+\angle BCD\neq \angle CDA+\angle ABC$, demostrar que entre todas las poligonales no hay ninguna de longitud mínima.
2. Si $\angle DAB+\angle BCD=\angle CDA+\angle ABC$, entonces hay una cantidad infinita de poligonales distintas de longitud mínima, siendo $2AC\,\mathrm{sen}(\alpha/2)$ dicha longitud mínima y $\alpha=\angle BAC+\angle CAD+\angle DAB$.

Sea $P_1$ un poliedro con nueve vértices $A_1,A_2,\ldots,A_9$. Definimos $P_i$ ($2\leq i\leq 9$) como el poliedro que se obtiene al aplicar una traslación a $P_1$ que envía el vértice $A_1$ al vértice $A_i$. Demostrar que al menos dos de los poliedros $P_1,P_2,\ldots,P_9$ tienen algún punto interior común.