Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Todas las caras del tetraedro $ABCD$ son triángulos acutángulos. Consideremos todas las poligonales cerradas de la forma $XYZTX$ en las que $X,Y,Z,T$ son puntos interiores de las aristas $AB,BC,CD,DA$, respectivamente.

1. Si $\angle DAB+\angle BCD\neq \angle CDA+\angle ABC$, demostrar que entre todas las poligonales no hay ninguna de longitud mínima.
2. Si $\angle DAB+\angle BCD=\angle CDA+\angle ABC$, entonces hay una cantidad infinita de poligonales distintas de longitud mínima, siendo $2AC\,\mathrm{sen}(\alpha/2)$ dicha longitud mínima y $\alpha=\angle BAC+\angle CAD+\angle DAB$.

Sea $P_1$ un poliedro con nueve vértices $A_1,A_2,\ldots,A_9$. Definimos $P_i$ ($2\leq i\leq 9$) como el poliedro que se obtiene al aplicar una traslación a $P_1$ que envía el vértice $A_1$ al vértice $A_i$. Demostrar que al menos dos de los poliedros $P_1,P_2,\ldots,P_9$ tienen algún punto interior común.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con circunferencia circunscrita $\Gamma$ y ortocentro $H$. Sea $K$ un punto de $\Gamma$ al otro lado de la recta $BC$ que $A$. Sean $L$ y $M$ los puntos simétricos de $K$ respeto de las rectas $AB$ y $BC$, respectivamente. Sea $E$ el segundo punto de intersección de $\Gamma$ con la circunferencia circunscrita al triángulo $BLM$. Demostrar que las rectas $KH$, $EM$ y $BC$ son concurrentes.

Sea $ABC$ un triángulo con circuncentro $O$. Los puntos $D$, $E$ y $F$ están en el interior de los lados $BC$, $CA$ y $AB$, respectivamente, de forma que $DE$ es perpendicular a $CO$ y $DF$ es perpendicular a $BO$. Sea $K$ el circuncentro del triángulo $AFE$. Demostrar que las rectas $DK$ y $BC$ son perpendiculares.

Un polígono convexo de $n$ lados no tiene ningún par de lados paralelos. Dado un punto $P$ en el interior del polígono, demostrar que hay a lo sumo $n$ rectas que pasan por $P$ y que lo dividen en dos polígonos de la misma área.