Olimpiadas de Matemáticas
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La base de datos contiene 2434 problemas y 940 soluciones.
Problema 1679
Dadas dos circunferencias exteriores de radios $r$ y $r'$ ($r\neq r'$), se pide dibujar, razonadamente, una recta paralela a una dirección dada, tal que determine sobre las dos circunferencias dos cuerdas tales que la suma de sus longitudes sea igual a una longitud dada $\ell$.
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Problema 1675
Sean $A'$, $B'$ y $C'$ los puntos de tangencia de los lados $BC$, $CA$ y $AB$, respectivamente, de un triángulo con su circunferencia inscrita. Sea $D$ el punto de intersección de $C'A'$ con la bisectriz del ángulo del vértice $A$. Calcular el valor del ángulo $\angle ADC$.
pistasolución 1info
Pista. Demuestra que la circunferencia circunscrita a $A'DC$ pasa por el incentro del triángulo $ABC$.
Solución. Por comodidad, llamaremos $\alpha,\beta,\gamma$ a los ángulos del triángulo, como es usual. El triángulo $BAC'$ es isósceles, luego $\angle DC'A=180^\circ-\angle BC'A'=180^\circ-\frac{1}{2}(180^\circ-\beta)=90^\circ+\beta$. Por lo tanto, en el triángulo $AC'D$, tenemos que $\angle C'DA=180^\circ-\angle DC'A-\frac{\alpha}{2}=90-\frac{\alpha+\beta}{2}=\frac{\gamma}{2}$. Ahora bien, como $AD$ es la bisectriz y contiene al incentro $I$, deducimos que $\angle A'DI=\angle\frac{\gamma}{2}=\angle ICA'$. Por la propiedad del arco capaz, esto nos dice que $ICDA'$ es un cuadrilátero cíclico y, por tanto,
\[\angle ADC=\angle IDC=\angle IA'C=90^\circ.\]
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Problema 1671
Tres puntos $A',B',C'$ están situados, respectivamente, sobre los lados $BC,CA,AB$ de un triángulo dado $ABC$ de área $S$, de forma que
\[\frac{AC'}{AB}=\frac{BA'}{BC}=\frac{CB'}{CA}=p,\]
siendo $0\lt p\lt 1$ un parámetro variable. Determinar:
- El área del triángulo $A'B'C'$ en función de $p$ y $S$.
- El valor de $p$ que minimiza el área anterior.
- El lugar geométrico al variar $p$ de los puntos $P$ de intersección de las paralelas trazadas por $A'$ y $C'$, respectivamente, a los lados $AB$ y $AC$.
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Problema 1666
Los puntos $A',B',C'$ se encuentran respectivamente sobre los lados $BC,CA,AB$ del triángulo $ABC$ y cumplen que
\[\frac{AC'}{C'B}=\frac{BA'}{A'C}=\frac{CB'}{B'A}=k.\]
Las rectas $AA',BB',CC'$ forman un triángulo $A_1B_1C_1$. En función de $k$ y del área $S$ del triángulo $ABC$, calcular el área del triángulo $A_1B_1C_1$.
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Problema 1663
Es muy conocido el puzzle consistente en descomponer la cruz griega de la
izquierda de la figura en cuatro partes con las que se pueda componer un cuadrado. Una solución habitual es la de la figura de la derecha. Demostrar que hay una infinidad de soluciones diferentes. ¿Hay alguna solución que dé lugar a cuatro partes iguales?
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