Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sea $ABCD$ un paralelogramo con lados de longitudes $AB=a$ y $AD=1$ y con $\angle BAD=\alpha$. Si $ABD$ es acutángulo, demostrar que los cuatro círculos de radio $1$ con centros en $A,B,C,D$ cubren el paralelogramo si y sólo si \[a\leq\cos\alpha+\sqrt{3}\,\mathrm{sen}\,\alpha.\]

Se eligen puntos $K,L,M$ en el interior de los lados $BC,CA,AB$, respectivamente, de un triángulo $ABC$. Demostrar que el área de al menos uno de los triángulos $AML,BKM,CLK$ es menor o igual que $1/4$ del área del triángulo $ABC$.

Sean $a,b,c$ las longitudes de los lados de un triángulo y $\alpha,\beta,\gamma$, respectivamente, sus ángulos opuestos. Demostrar que si se cumple que \[a+b=(a\tan\alpha+b\tan\beta)\tan\tfrac{\gamma}{2},\] entonces el triángulo es isósceles.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo y sea $I$ el punto de intersección de sus diagonales. Se tienen además puntos $E,H,F,G$ en $AB,BC,CD,DA$, respectivamente, tales que $EF$ y $GH$ se cortan también en $I$. Si $M$ es la intersección de $EG$ y $AC$ y $N$ es la intersección de $HF$ y $AC$, demostrar que \[\frac{AM}{IM}\cdot\frac{IN}{CN}=\frac{IA}{IC}.\]

Sean $\Gamma$ y $\Gamma'$ dos circunferencias congruentes con centros $O$ y $O'$, respectivamente, y sea $A$ uno de sus puntos de interesección. Sean $B$ un punto de $\Gamma$, $C$ el segundo punto de intersección de $AB$ y $\Gamma'$ y $D$ un punto de $\Gamma'$ tal que $OBDO'$ es un paralelogramo. Demostrar que la longitud de $CD$ no depende de la posición de $B$.