Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sean $S_1$ y $S_2$ dos circunferencias que se cortan en dos puntos distintos $P$ y $Q$. Sean $l_1$ y $l_2$ dos rectas paralelas tales que:

• $l_1$ pasa por el punto $P$ y corta a $S_1$ en un punto $A_1$ distinto de $P$ y a $S_2$ en un punto $A_2$ distinto de $P$.
• $l_2$ pasa por el punto $Q$ y corta a $S_1$ en un punto $B_1$ distinto de $Q$ y a $S_2$ en un punto $B_2$ distinto de $Q$.

Demostrar que los triángulos $A_1QA_2$ y $B_1PB_2$ tienen igual perımetro.

Sea $S$ una circunferencia y $AB$ un diámetro de ella. Sea $t$ la recta tangente a $S$ en $B$ y sean $C$ y $D$ dos puntos en $t$ tales que $B$ está entre $C$ y $D$. Sean $E$ y $F$ las intersecciones de $S$ con $AC$ y $AD$, respectivamente, y sean $G$ y $H$ las intersecciones de $S$ con $CF$ y $DE$, respectivamente. Demostrar que $AH=AG$.

Desde un punto $P$ exterior a una circunferencia $S$ se trazan tangentes que la tocan en $A$ y $B$. Sea $M$ el punto medio de $AB$. La mediatriz de $AM$ corta a $S$ en el punto $C$ interior al triángulo $ABP$, la recta $AC$ corta a la recta $PM$ en $G$ y la recta $PM$ corta a $S$ en el punto $D$ exterior al triángulo $ABP$. Si $BD$ es paralelo a $AC$, demostrar que $G$ es el punto donde concurren las medianas del triángulo $ABP$.

Sea $ABC$ un triángulo y sean $D$ y $E$ puntos en los lados $AC$ y $AB$, respectivamente, tales que las rectas $BD$, $CE$ y la bisectriz que parte de $A$ concurren en un punto $P$ interior al triángulo. Demostrar que hay una circunferencia tangente a los cuatro lados del cuadrilátero $ADPE$ si y sólo si $AB = AC$.

Sea $ABC$ un triángulo con $BC\gt AC$. El círculo con centro en $C$ y radio $AC$ corta al segmento $BC$ en $D$. Sea $I$ el incentro del triángulo $ABC$ y sea $\Gamma$ el círculo que pasa por $I$ y es tangente a la recta $CA$ en $A$. La recta $AB$ y $\Gamma$ se cortan en $F$, con $F\neq A$. Demostrar que $BF = BD$.