Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Podemos suponer sin perder generalidad que \(a=1\) (basta dividir la ecuación por \(a\), con lo que no cambian sus raíces ni cambia que \(b\) y \(c\) sean racionales). En tal caso, llamemos \(\alpha\), \(\beta\) y \(\gamma\) a las raíces y supongamos que \(\gamma=\alpha\beta\). Las relaciones de Cardano se escriben ahora como: \begin{eqnarray*} \alpha+\beta+\gamma&=&0\\ \gamma(1+\alpha+\beta)&=&c\\ \gamma^2&=&-d \end{eqnarray*} luego de la primera y segunda ecuaciones tenemos que \(\gamma(1-\gamma)=c\) y, como la tercera nos dice que \(-\gamma^2=d\), deducimos finalmente que \(\gamma=c-d\), que obviamente es racional.

Solución. Llamemos \(P(x)\) al polinomio producto. A partir de la expresión del enunciado, es fácil ver que \(P(x)=P(-x)\) (es decir, \(P(x)\) es una función par). Ahora bien, \(P(-x)\) tiene todos los coeficientes impares cambiados de signo con respecto a \(P(x)\) luego por la unicidad de los coeficientes de los polinomios, estos deberían ser iguales a su opuesto, lo que significa que han de ser cero.

Solución. Si llamamos a las raíces \(\alpha\), \(\beta\) y \(\gamma\), las ecuaciones de Cardano nos dicen que \[\alpha^2+\beta^2+\gamma^2=(\alpha+\beta+\gamma)^2-2(\alpha\beta+\beta\gamma+\alpha\gamma)=(2a)^2-2(a+1)\] Por tanto, la suma de los cuadrados de las raíces viene dada, en función de \(a\) por la fórmula \(S(a)=4a^2-2a-2\). Está claro que esta función tiene su mínimo en \(a=\frac{1}{4}\) (es una parábola) y la suma mínima es \(S(\frac{1}{4})=\frac{-9}{4}\).

Solución. Haciendo \(x=0\), tenemos que \(P(0)=P(0)^2\), de donde \(P(0)=0\) ó \(P(0)=1\).

1. Si \(P(0)=1\), entonces vamos a probar que el polinomio es constante uno. Por reducción al absurdo, si así no fuera, podemos escribir \(P(x)=1+a_kx^k+a_{k+1}x^{k+1}+\ldots+a_nx^n\) para \(k\geq 1\) y \(a_k\neq 0\) (es decir, \(k\) es el grado del primer monomio no nulo aparte del término independiente). Entonces, el término de grado \(k\) en \(P(x^2)\) es cero mientras que en \(P(x)^2\) es \(2a_kx^k\), luego tiene que ser \(a_k=0\), lo cual es una contradicción.
2. Si \(P(0)=0\), entonces existen \(k\in\mathbb{N}\) y un polinomio \(Q(x)\) tal que \(P(x)=x^kQ(x)\) y \(Q(0)\neq 0\). La condición \(P(x^2)=P(x)^2\) se escribe ahora como \(x^{2k}Q(x^2)=x^{2k}Q(x)^2\) y \(Q\) también cumple el enunciado con \(Q(0)\neq 0\). Por el apartado (a), tiene que ser \(Q(x)=1\), luego \(P(x)=x^k\).

Hemos probado así que los únicos polinomios que cumplen la condición del enunciado son \(P(x)=1\) y los de la forma \(P(x)=x^n\) para algún \(n\in\mathbb{N}\).

Solución. Llamemos \(\alpha\), \(\beta\) y \(\gamma\) a las tres raíces y supongamos que \(\alpha+\beta=\gamma\). Entonces, las relaciones de Cardano nos dicen que \begin{eqnarray*} 2\gamma=\alpha+\beta+\gamma&=&-a\\ \alpha\beta+\gamma^2=\alpha\beta+\beta\gamma+\alpha\gamma&=&b\\ \alpha\beta\gamma&=&-c \end{eqnarray*} de donde \(a^3-4ab+8c=(-2\gamma)^3-4(-2\gamma)(\alpha\beta+\gamma^ 2)+8(-\alpha\beta\gamma)=0\), como se pretendía probar.