Sean $x_1,x_2,\ldots,x_n$ reales positivos cuya suma es $1$ y definimos
\[s=\max\left\{\frac{x_1}{1+x_1},\frac{x_2}{1+x_1+x_2},\ldots,\frac{x_n}{1+x_1+x_2+\ldots+x_n}\right\}.\]
Determinar el menor valor que puede tomar $s$ y hallar los valores de los números que realizan dicho mínimo.
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infoPara cualesquiera números reales positivos $x$ e $y$, definimos $f(x,y)$ como el menor de los números $x,\frac{1}{y},y+\frac{1}{x}$. Determinar el máximo valor que puede tomar $f(x,y)$ y cuáles son los valores de $x$ e $y$ que realizan dicho máximo.
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infoSupongamos que la ecuación $x^3 + px^2 + qx + r = 0$, con $r\neq 0$, admite tres raíces reales y positivas. Determinar la relación que debe ligar los números reales $p$, $q$ y $r$ a fin de que las tres raíces puedan ser las longitudes de los lados de un triángulo.
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Pista. Si $\alpha,\beta,\gamma\gt 0$ son las raíces de la ecuación, demuestra que la condición de que sean los lados de un triángulo se expresa como
\[(\alpha+\beta-\gamma)(\beta+\gamma-\alpha)(\gamma+\alpha-\beta)\gt 0\]
Solución. Sean $\alpha,\beta,\gamma\in\mathbb{R}$ las raíces de la ecuación. Para que sean las longitudes de los lados de un triángulo, la suma de dos de ellas debe ser mayor que la tercera, lo que nos da la relación
\[(\alpha+\beta-\gamma)(\beta+\gamma-\alpha)(\gamma+\alpha-\beta)\gt 0.\qquad (\star)\]
Observamos además que si se cumple esto no pueden ser dos sumandos negativos y otro positivo ya que, si $\alpha+\beta\lt \gamma$ y $\beta+\gamma\lt\alpha$, entonces sumamos ambas desigualdades y llegamos a que $2\beta\lt 0$, pero estamos suponiendo que las tres raíces son positivas.
Ahora bien, si desarrollamos la igualdad
\[x^3+px^2+qx+r=(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma),\]
obtenemos rápidamente las ecuaciones de Cardano-Vièta identificando coeficientes:
\[\alpha+\beta+\gamma=-p,\qquad \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=q,\qquad \alpha\beta\gamma=-r.\]
Por lo tanto, la desigualdad $(\star)$ se puede reescribir como
\begin{align*}
0&\lt (-p-2\alpha)(-p-2\beta)(-p-2\gamma)\\
&=-p^3-2(\alpha+\beta+\gamma)p^2-4(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)p-8\alpha\beta\gamma\\
&=-p^3+2p^3-4qp+8r=p^3-4qp+8r.
\end{align*}
Deducimos así que la relación que nos piden es $4pq\lt p^3+8r$.
Demostrar que
\[\frac{1}{10\sqrt{2}}\lt\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdots 99}{2\cdot 4\cdot 6\cdots 100}\lt\frac{1}{10}.\]
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Pista. Eleva al cuadrado y estima los factores del numerador por los del denominador para obtener productos telescópicos.
Solución. Denotemos por $A$ a la fracción central. Elevando al cuadrado obtenemos que
\[A^2=\frac{1^2\cdot 3^2\cdot 5^2\cdots 99^2}{2^2\cdot 4^2\cdot 6^2\cdots 100^2}.\]
Observemos que
\[(2n-1)^2=4n^2-4n+1\gt 4n^2-4n=2n(2n-2),\]
luego cada cuadrado de un número impar en el numerador puede acotarse inferiormente por el producto de los pares anterior y posterior, es decir,
\[A^2=\frac{1^2\cdot 3^2\cdot 5^2\cdots 99^2}{2^2\cdot 4^2\cdot 6^2\cdots 100^2}\gt\frac{1^2\cdot (2\cdot 4)\cdot (4\cdot 6)\cdots (98\cdot 100)}{2^2\cdot 4^2\cdot 6^2\cdots 100^2}=\frac{1}{200},\]
de donde se obtiene la desigualdad de la izquierda del enunciado.
Si ahora hacemos lo mismo con los cuadrados del denominador, teniendo en cuenta que
\[(2n)^2=4n^2\gt 4n^2-1=(2n-1)(2n+1),\]
obtenemos la siguiente cota superior:
\[A^2=\frac{1^2\cdot 3^2\cdot 5^2\cdots 99^2}{2^2\cdot 4^2\cdot 6^2\cdots 100^2}\lt\frac{1^2\cdot 3^2\cdot 5^2\cdots 99^2}{(1\cdot 3)\cdot (3\cdot 5)^2\cdots (97\cdot 99)\cdot 100^2}=\frac{99}{100^2}\lt\frac{1}{100},\]
que equivale a la desigualdad de la derecha en el enunciado.
Nota. Las desigualdades
\[(2n-1)^2\gt 2n(2n-2),\qquad (2n)^2\gt(2n-1)(2n+1),\]
también pueden verse como desigualdades entre las medias aritmética y geométrica de dos pares o impares consecutivos.
